单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6$ ，下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $a_{1}=3$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，$\exists M \in R$ ，使得 $n>m$ 时，$a_{n}>M$
$\text{B.}$ 若 $a_{1}=5$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$\exists M,, 6$ ，使得 $n>m$ 时，$a_{n} < M$
$\text{C.}$ 若 $a_{1}=7$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，$\exists M>6$ ，使得 $n>m$ 时，$a_{n}>M$
$\text{D.}$ 若 $a_{1}=9$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$\exists M \in R$ ，使得 $n>m$ 时，$a_{n} < M$
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{3} a_{n}^{2}\left(n \in N^{*}\right)$ ，则（
$\text{A.}$ $2 < 100 a_{100} < \frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2} < 100 a_{100} < 3$
$\text{C.}$ $3 < 100 a_{100} < \frac{7}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{2} < 100 a_{100} < 4$
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的首项 $a_{1}=2$ ，且满足 $a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{2 n}$ ，则此数列的第三项是（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}=2$ ，且 $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2 a_{n}^{2}+1}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，则下列说法确的是（ ）
$\text{A.}$ $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递增数列
$\text{B.}$ $0 < a_{n} \leq 2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{1}}=2\left(S_{n}-a_{n}\right)$
$\text{D.}$ 当 $n \geq 2$ 时，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} \leq 2 n-\frac{16}{9}$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}$ 为数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$ ．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}+1, n \text { 为奇数 }, \\ a_{n}+2, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）记 $b_{n}=a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}$ ，并求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 20 项和．
根据下列条件，确定数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
（1）$a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+2$ ；
（2）$a_{1}=1, a_{n}=\frac{n-1}{n} \cdot a_{n-1}(n \geqslant 2)$ ；
（3）$a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+3 n+2$ ．
已知正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, \log _{2} a_{n+1}-\log _{2} a_{n}=\log _{2}(n+2)-\log _{2}(n+1)-1$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
已知各项都为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}=2 a_{n+1}+3 a_{n}$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_{n}+a_{n+1}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1}=\frac{1}{2}, a_{2}=\frac{3}{2}$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．