小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图（1），在 $V A B C$ 中，$A B=B C, B D \perp A C$ ，垂足为点 $D$ ．若 $C D=2, B D=1$ ，则 $S_{ V A B C}=$ $\qquad$ ．
（2）如图（2），在菱形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，$A^{\prime} C^{\prime}=4, B^{\prime} D^{\prime}=2$ ，则 $S_{\text {棱形 } A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} C^{\prime}}=$ $\qquad$ ．
（3）如图（3），在四边形 $E F G H$ 中，$E G \perp F H$ ，垂足为点 $O$ ．若 $E G=5, F H=3$ ，则 $S_{\text {四边形 } E F G H}=$ $\qquad$ ；

若 $E G=a, F H=b$ ，猜想 $S_{\text {四边形 } F F G H}$ 与 $a, b$ 的关系，并证明你的猜想．

【理解运用】
（4）如图（4），在 $\triangle M N K$ 中，$M N=3, K N=4, M K=5$ ，点 $P$ 为边 $M N$ 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：
（i）以点 $K$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 $K N, K M$ 于点 $R, I$ ；
（ii）以点 $P$ 为圆心，$K R$ 长为半径画弧，交线段 $P M$ 于点 $I^{\prime}$ ；
（iii）以点 $I^{\prime}$ 为圆心，$I R$ 长为半径画弧，交前一条弧于点 $R^{\prime}$ ，点 $R^{\prime}, K$ 在 $M N$ 同侧；
（iv）过点 $P$ 画射线 $P R^{\prime}$ ，在射线 $P R^{\prime}$ 上截取 $P Q=K N$ ，连接 $K P, K Q, M Q$ ．
请你直接写出 $S_{\text {四边形 } \text { PKQ } Q}$ 的值．

如图，已知矩形 $A B C D$ ．
（1）尺规作图：作对角线 $A C$ 的垂直平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接 $A E, ~ C F$ ．求证：四边形 $A F C E$ 是菱形．

在 $Rt \triangle A C B$ 中，$\angle A C B=90^{\circ}, B C=12, A C=8$ ，以 $B C$ 为边向 $\triangle A C B$ 外作有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形 $B C D E$ ，对角线 $B D, C E$ 交于点 $O$ ，连接 $O A$ ，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出 $\triangle A O C$ 的面积．

如图， $Rt \triangle A B C$ 中，$\angle B=90^{\circ}$ ．
（1）尺规作图：作 $A C$ 边上的中线 $B O$（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线 $B O$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $180^{\circ}$ 得到 $D O$ ，连接 $A D, C D$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

如图，点 $E, F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C, C D$ 上，$B E=3, E C=6, C F=2$ ．求证：$\triangle A B E \backsim \triangle E C F$ ．

康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
(1)实践与操作

① 任意作两条相交的直线，交点记为 $O$ ；
② 以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 $O A, ~ O B, ~ O C, ~ O D$ ；
③ 顺次连结所得的四点得到四边形 $A B C D$ ．
于是可以直接判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则该判定定理是： $\qquad$ ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形 $A B C D$ 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知，求证，请你完成证明过程．

已知：如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，$A C=B D$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：


（1）如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点．用尺规过点 $O$ 作 $A C$ 的垂线，分别交 $A B, C D$ 于点 $E, F$ ，连接 $A F, C E$ ．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形 $A B C D$ ，点 $E, F$ 分别在 $A B, C D$ 上，$E F$ 经过对角线 $A C$ 的中点 $O$ ，且 $E F \perp A C$ ．求证：四边形 $A E C F$是菱形。

证明：$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形，
$\therefore A B \| C D$ ．
$\therefore$（1），$\angle O C F=\angle O A E$ ．
$\because$ 点 $O$ 是 $A C$ 的中点，
$\therefore$（2）．
$\therefore \triangle C F O \cong \triangle A E O$（AAS）．
$\therefore$（3）．
又 $\because O A=O C$ ，
$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是平行四边形．
$\because E F \perp A C$ ，
$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是菱形．
进一步思考，如果四边形 $A B C D$ 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：（4）．

如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C=5, B C=6$ ．点 $D$ 是边 $B C$ 上的一点（点 $D$ 不与点 $B, ~ C$ 重合），作射线 $A D$ ，在射线 $A D$ 上取点 $P$ ，使 $A P=B D$ ，以 $A P$ 为边作正方形 $A P M N$ ，使点 $M$ 和点 $C$ 在直线 $A D$ 同侧．
（1）当点 $D$ 是边 $B C$ 的中点时，求 $A D$ 的长；
（2）当 $B D=4$ 时，点 $D$ 到直线 $A C$ 的距离为 $\qquad$ ；
（3）连结 $P N$ ，当 $P N \perp A C$ 时，求正方形 $A P M N$ 的边长；
（4）若点 $N$ 到直线 $A C$ 的距离是点 $M$ 到直线 $A C$ 距离的 3 倍，则 $C D$ 的长为 $\qquad$ ．（写出一个即可）

【模型建立】

（1）如图 1，已知 $\triangle A B E$ 和 $\triangle B C D, A B \perp B C, A B=B C, C D \perp B D, A E \perp B D$ ．用等式写出线段 $A E, D E$ ， $C D$ 的数量关系，并说明理由．

【模型应用】
（2）如图 2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在对角线 $B D$ 和边 $C D$ 上，$A E \perp E F, A E=E F$ ．用等式写出线段 $B E, A D, D F$ 的数量关系，并说明理由．

【模型迁移】
（3）如图 3，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在对角线 $B D$ 上，点 $F$ 在边 $C D$ 的延长线上，$A E \perp E F, A E=E F$ ．用等式写出线段 $B E, A D, D F$ 的数量关系，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 $O A B$ 的边 $O B$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 在第一象限，$O A$ 的长度是一元二次方程 $x^2-5 x-6=0$ 的根，动点 $P$ 从点 $O$ 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 $O A-A B$ 运动，动点 $Q$从点 $O$ 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 $O B-B A$ 运动，$P, ~ Q$ 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 3.6), \triangle O P Q$ 的面积为 $S$ ．
（1）求点 $A$ 的坐标；
（2）求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当 $S=6 \sqrt{3}$ 时，点 $M$ 在 $y$ 轴上，坐标平面内是否存在点 $N$ ，使得以点 $O, ~ P, ~ M, ~ N$为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，说明理由．