复旦大学《高等数学B下》2018期末考试试卷

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复旦大学《高等数学B下》2018期末考试试卷

一、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

z^{2} - 2 x y z = 1

, 求

\frac{\partial z}{\partial x} 、 \frac{\partial z}{\partial y}

和

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

。

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2. 设三元函数

f (x, y, z) = \arcsin (x^{2} + y + z^{2})

。
(1) 求函数在点

P (\frac{1}{2}, - 1, - \frac{1}{2})

处函数值增加最快的方向;
(2) 求函数在

P

点沿方向

(1, - 1, - 1)

的方向导数。

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3. 设空间曲面

y^{2} + 2 z^{2} = 3 x

, (1) 求曲面在点

(1, 1, - 1)

处的切平面方程;
(2) 求曲面与

2 x - 3 y + 5 z = 4

的交线在点

(1, 1, 1)

处的切线方程。

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4. 求平面上由 4 条直线

x + 2 y = 2, x + 2 y = 5

和

y = 2 x, y = 2 x - 1

所围闭区域的面积。

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5. 求

\iint_{D} (x + 2 x y) d x d y

, 其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \geq a^{2}, x^{2} + y^{2} \leq 2 a x}

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6. 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (- 3)^{n} + 2^{n}}{4^{n}}

是否收敛? 如果收敛求其和。

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7. 将函数

f (x) = x (4 - x), x \in (0, 4)

展开成周期为 4 的Fourier级数, 并求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

的和。

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二、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 求曲面

y = x^{2} + z^{2}

与平面

x + y - z = 3

的交线到原点的最远和最近距离。

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9. 求积分

∭_{Ω} (x + y) d x d y d z

, 其中

Ω

为两曲面:

x^{2} + z^{2} = \frac{1}{4} (y + 1)^{2}

和

y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - z^{2}}

所围成的空间区域。

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10. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n (n + 1)} (x + 1)^{n - 1}

的收敛域与和函数, 并求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1) 2^{n}}

的和。

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11. 设

f (x)

有一阶连续的导函数,

f (0) = 0

; 且微分方程:

(y f (x) + y^{2} + 2 x y) d x + (f (x) + 2 x y) d y = 0

是全微分方程。
(1) 求

f (x)

, (2) 写出全微分方程的通解。

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12. 设

f (x)

是以

2 π

为周期的二阶可导函数, 且已知

f (0) = 0

, 并满足等式

f (x) + 2 f^{'} (π + x) = \sin 3 x

, 求

f (x)

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13. 设

Ω

是由曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与曲面

z = 2 - x^{2} - y^{2}

所围成的有界闭区域, 计算

I = ∭_{Ω} x^{2} z d v

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14. 计算

I = \iint_{Σ} \frac{| y | z}{\sqrt{1 + 2 z}} d S

, 其中

Σ

为曲面

z = \frac{x^{2} + y^{2}}{2}

被圆柱面

x^{2} + y^{2} = 2 x

所截得的有限部分

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