单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
袋中有 5 只球，其中 3 只新的， 2 只旧的，每次取一只，无放回取三次，则第一次和第三次均取到新球的概率为
$\text{A.}$ $3 / 5$
$\text{B.}$ $1 / 10$
$\text{C.}$ $1 / 5$
$\text{D.}$ $3 / 10$
设事件 $A, B$ 相互独立, 且 $P(A)=1 / 3, P(B)=1 / 5$, 则 $P(A \mid B)=$ 。
$\text{A.}$ $3 / 5$
$\text{B.}$ $2 / 15$
$\text{C.}$ 1/15
$\text{D.}$ $1 / 3$
设 $X \sim N(-1,2)$, 则 $X$ 的密度函数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-1)^2}{4}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{\frac{-(x+1)^2}{2}}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-1)^2}{8}}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{\frac{-(x+1)^2}{4}}$
设某地每年遭受严重自然灾害的次数为随机变量 $X$, 已知该地上半年已经遭受了一次严重自然灾害，那么该地全年遭受严重自然灾害超过 2 次的概率是
$\text{A.}$ $P(X \geq 2)$
$\text{B.}$ $P(X>2 \mid X \geq 1)$
$\text{C.}$ $P(X \geq 2 \mid X>1)$
$\text{D.}$ $1-P(X \leq 2 \mid X=1)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布, $X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right)$, 而 $p_1=P(X \leq \mu-4)$, $p_2=P(Y \geq \mu+5)$, 则
$\text{A.}$ $p_1=p_2$
$\text{B.}$ $p_1 < p_2$
$\text{C.}$ $p_1>p_2$
$\text{D.}$ 当 $\mu=0$, 才有 $p_1=p_2$
设 $X, Y$ 是 0-1 分布的随机变量, 已知 $P(X=0, Y=0)=P(X=0, Y=1)=1 / 3$, 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $P(X=1, Y=0)=$
$\text{A.}$ $1 / 6$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $1 / 9$
$\text{D.}$ $1 / 3$
设 $(X, Y) \sim N(0,1,1,1,0.5), U=X+Y, V=X-Y$, 若已知 $(U, V)$ 是二维正态分布, 则下面错误的是
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 相关
$\text{B.}$ $U$ 与 $V$ 不相关
$\text{C.}$ $U$ 与 $V$ 不独立
$\text{D.}$ $V$ 与 $X$ 线性相关
设 $X_1, X_2, X_3$ 为总体 $X$ 一个样本, 则总体均值的 4 个无偏差估计: $\hat{\mu}=X_1, \hat{\mu}_2=\left(X_1+X_2\right) / 2$, $\hat{\mu}_3=\left(X_1+X_2+X_3\right) / 3, \hat{\mu}_4=0.7 X_2+0.3 X_3$ 中最有效的估计是
$\text{A.}$ $\hat{\mu}_1$
$\text{B.}$ $\hat{\mu}_2$
$\text{C.}$ $\hat{\mu}_3$
$\text{D.}$ $\hat{\mu}_4$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中取样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$, 均值为 $\bar{X}$, 下面错误的是
$\text{A.}$ $\frac{n \bar{X}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{X_n-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{D.}$ $\frac{X_1-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
设 $X_1, \cdots, X_n(n>1)$ 为总体 $X \sim N(0,1)$ 的样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则错误的是
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}}{\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{l=1}^n X_I^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \sim \chi^2(1)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $P(A)=0.5, P(B)=0.3$, 若 $A$ 与 $B$ 相互独立, 则 $A$ 发生而 $B$ 不发生的概率为 ________ ; 苦 $A$ 与 $B$ 互不相容，则 $P(\bar{A} B)=$ ________
从 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 中不放回任取两个数, 则两个数奇偶各异的概率为 $\qquad$ , 若已知取到的两数奇偶不同, 则奇数大于偶数的概率为
$\qquad$
设 $X$ 的分布律为 $P(X=k)=k / 6, k=1,2,3$, 二次对 $X$ 独立观察得到 $X_1, X_2$, 则 $P\left(X_1>1\right)=, P\left(\max \left(X_1, X_2\right)>1.5\right)=$.
已知随机变量 $X \sim B(1,0.5), Y \sim B(1,0.6)$, 则当 $X$ 与 $Y$ 独立时 $P(X Y=0)=$
用 $X_n$ 表示任投一硬币前 $n$ 次试验中硬币出现正面的次数, 每次硬币正面向上的概率为 $1 / 2$, 则 $X_{10}$ 服从的分布及参数是 ________ $ \operatorname{Cov}\left(X_{10}, X_{100}\right)=$ ________
设 $\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是标准正态总体的样本, 若 $k\left(2 X_1+X_2\right)^2+X_3^2 \sim \chi^2(2)$, 则 $k=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
根据以往的临床记录, 某种疾病的诊断试验具有 $2 \%$ 的假阳性（无病但试验反应阳性）及 $5 \%$ 的假阴性（有病但反应阴性），已知某一群体患有该种疾病的概率为 $0.5 \%$ ， （1）在这个群体中任取一个人, 求他试验呈阳性的概率; （2）若试验呈阳性, 求他患病的概率;
设 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}k x, 0 < x < 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $(1) k ;$ (2) $F(x)$ ；(3)对 $X$ 独立 72次观察得到 $X_1, \ldots, X_{12}$, 令 $Y=X_1+\cdots+X_2$, 利用中心极限定理, 求 $P(Y < 50)$ 的近似值。
设 $(X, Y)$ 在区域 $D=\{x>0, y>0, x+y < 1\}$ 上服从二维均匀分布, $Z=X^2$, 求:
(1) $f(x, y)$;
(2) $f_X(x)$;
(3) $P(Y>0.5)$;
(4) $f_Z(z)$
某厂新引进一台灌装机器用于生产袋装物品, 设每袋物品重量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$
(单位: 克), $\mu$ 及 $\sigma^2$ 均未知, 为掌握机器工作情况, 从该机器生产的物品中抽取了 16包, 经计算得每包平均重量为 498 克, 方差为 25 克 ${ }^2$,(1) 求 $\sigma^2$ 的置信度为 $95 \%$ 的双侧置信区间；（2）求 $\mu$ 的置信度为 $95 \%$ 的双侧置信区间。（3）如果生产标准是每包 500 克的物品, 问此时机器正常吗? 说明理由。（最后均保留 2 位小数）
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\theta x^{\theta-1}, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}, \theta>0\right.$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是抽取的样本, (1)求 $\theta$ 的一阶矩估计 $\hat{\theta}$; (2)求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}_L$ ；(3)若 $\lambda=1 / \theta$, 求 $\lambda$ 的极大似然估计 $\hat{\lambda}_L$; (4)判断上小题 $\hat{\lambda}_L$ 的无偏性, 说明理由。