高等数学《二重积分》专题练习

导出试卷

高等数学《二重积分》专题练习

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x, y)

为连续函数，且

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq t^{2}}

，则

lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{π t^{2}} \iint_{D} f (x, y) d σ = ()

A.

f (0, 0)

B.

- f (0, 0)

C.

f^{'} (0, 0)

D.

不存在

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 交换积分次序

\int_{- 1}^{0} d y \int_{1 - y}^{2} f (x, y) d x = ()

A.

\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{1 - x} f (x, y) d y

B.

\int_{1}^{2} d x \int_{1 - x}^{0} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{1 - x} f (x, y) d y

D.

\int_{0}^{2} d y \int_{1 - x}^{0} f (x, y) d x

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设

A = \int_{0}^{2} [e^{x}] d x, B = \iint_{D} (x^{2} + x y + y^{2}) d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 2 y}, [x]

表示不超过

x

的最大整数，则

\frac{A}{B} = (

A.

\frac{14 - \ln (7!)}{8 π}

B.

\frac{14 - \ln (7!)}{10 π}

C.

\frac{- 14 + \ln (7!)}{8 π}

D.

\frac{- 14 + \ln (7!)}{10 π}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 设

f (x, y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

上可微，且

f (0, 0) = 0

，极限

lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}} d t \int_{x}^{\sqrt{t}} f (t, u) d u}{1 - e^{- x^{4}}} = ()

A.

- \frac{1}{4} f_{y}^{'} (0, 0)

B.

\frac{1}{4} f_{x}^{'} (0, 0)

C.

- \frac{1}{4} f_{x}^{'} (0, 0)

D.

\frac{1}{4} f_{y}^{'} (0, 0)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 设

D = {(x, y) | | x | + | y | \leq 1}

, 则

\iint_{D} (x + | y |) d x d y =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

\int_{0}^{1} d y \int_{\arcsin y}^{π - \arcsin y} \sin^{3} x d x =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

I = \int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{4} - y^{2}} d x =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 设函数

f (x)

为连续函数，

g (t) = \int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} f (x) d x

，则

g^{'} (2) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 设

D = {(x, y) ∣ 0 \leq y \leq 1 - x, 0 \leq x \leq 1}

，计算

\iint_{D} e^{\frac{y}{x + y}} d σ =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 计算二重积分

\iint_{D} r^{2} \sin θ \sqrt{1 - r^{2} \cos 2 θ} d r d θ

，其中

D = {(r, θ) ∣ 0 \leq r \leq \sec θ, 0 \leq θ \leq \frac{π}{4}}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11. 设闭区域

D : x^{2} + y^{2} \leq y, f (x, y)

为

D

上的连续函数，求

f (x, y)

，其中

f (x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \frac{4}{π} \iint_{D} f (u, v) d u d v

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，

\int_{a}^{b} f (x) d x = A

，求

\int_{a}^{b} f (x) d x \int_{x}^{b} f (y) d y

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 设

f (x)

在

[0, 1]

上连续, 证明:

\int_{0}^{1} e^{f (x)} d x \int_{0}^{1} e^{- f (y)} d y \geq 1

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。

高等数学《二重积分》专题练习

热点推荐

试卷二维码

试卷白板

相关试卷