单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\}$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) d \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $f(0,0)$
$\text{B.}$ $-f(0,0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}( 0 , 0 )$
$\text{D.}$ 不存在
交换积分次序 $\int_{-1}^0 d y \int_{1-y}^2 f(x, y) d x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_1^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_1^2 d x \int_{1-x}^0 f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^2 d y \int_{1-x}^0 f(x, y) d x$
设 $A=\int_0^2\left[e^x\right] d x, B=\iint_D\left(x^2+x y+y^2\right) d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x+2 y\right\},[x]$ 表示不超过 $x$的最大整数，则 $\frac{A}{B}=($
$\text{A.}$ $\frac{14-\ln (7!)}{8 \pi}$
$\text{B.}$ $\frac{14-\ln (7!)}{10 \pi}$
$\text{C.}$ $\frac{-14+\ln (7!)}{8 \pi}$
$\text{D.}$ $\frac{-14+\ln (7!)}{10 \pi}$
设 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$上可微，且 $f(0,0)=0$ ，极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2} d t \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) d u}{1-e^{-x^4}}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leq 1\}$, 则 $\iint_D(x+|y|) d x d y=$
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} \sin ^3 x d x=$
$I=\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^4-y^2} d x=$
设函数 $f(x)$ 为连续函数， $g(t)=\int_1^t d y \int_y^t f(x) d x$ ，则 $g^{\prime}(2)=$
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq x \leq 1\}$ ，计算 $\iint_D e^{\frac{y}{x+y}} d \sigma=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算二重积分 $\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} d r d \theta$ ，其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$.
设闭区域 $D: x^2+y^2 \leq y, f(x, y)$ 为 $D$ 上的连续函数，求 $f(x, y)$ ，其中
$$
f(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{4}{\pi} \iint_D f(u, v) d u d v
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $\int_a^b f(x) d x=A$ ，求 $\int_a^b f (x) d x \int_x^b f (y) d y$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 证明:
$$
\int_0^1 e^{f(x)} d x \int_0^1 e^{-f(y)} d y \geq 1
$$