单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & y\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}u & v & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 相似，则下列说法中，正确的是（）
$\text{A.}$ 仅能确定 $x$ 的取值.
$\text{B.}$ 仅能确定 $x ， y$ 的取值.
$\text{C.}$ 仅能确定 $x ， y ， u$ 的取值.
$\text{D.}$ $x ， y ， u ， v$ 的取值均能确定.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A, B$ 不相似但合同.
$\text{B.}$ $B ， C$ 既相似又合同.
$\text{C.}$ $A, C$ 不相似但合同.
$\text{D.}$ $B, C$ 不相似但合同.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B()$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同，但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
设矩阵 $A ， B ， C$ 为同阶矩阵，且 $A ， B$ 可逆，矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ O & B\end{array}\right)$ ， $M_1=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C \\ O & B\end{array}\right), M_2=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C B^{-1} \\ O & B\end{array}\right)$, 则()
$\text{A.}$ $M_1, M_2$ 均与 $M$ 相似.
$\text{B.}$ $M_1$ 与 $M$ 相似， $M_2$ 与 $M$ 不相似.
$\text{C.}$ $M_1$ 与 $M$ 不相似， $M_2$ 与 $M$ 相似.
$\text{D.}$ $M_1, M_2$ 均不与 $M$ 相似.
设 $A ， B$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶矩阵，则下列说法中，错误的是（）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & A\end{array}\right)$ 相似.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & B \\ A & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}A & B-A \\ O & B\end{array}\right)$ 相似.
设 $A$ 是 3 阶矩阵， 0 是 $A$ 的单特征值， $\alpha$ 是满足 $A \alpha= 0$ 的非零向量. 若对满足 $\beta^{ T } \alpha=0$ 的 3维列向量 $\beta$ ，均有 $A ^2 \beta=\beta$ ，则（）
$\text{A.}$ $A ， A ^2$ 均能相似对角化.
$\text{B.}$ $A$ 不能相似对角化， $A ^2$ 能相似对角化.
$\text{C.}$ $A$ 能相似对角化， $A ^2$ 不能相似对角化.
$\text{D.}$ $A ， A ^2$ 均不能相似对角化.
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的向量组.若 $A \alpha _1= \alpha _2+ \alpha _3, A \alpha _2= \alpha _1+$ $\alpha _3, A \alpha _3= \alpha _1+ \alpha _2$, 则 $| A |=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 求满足 $A \xi_2=2 \xi_1, A ^2 \xi_3=6 \xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$.
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi _1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 记满足 $A \xi _2=2 \xi _1, A ^2 \xi _3=6 \xi _1$ 的向量为 $\xi _2, \xi _3$ ，证明:对任意满足条件的向量 $\xi_2, \xi_3$ ，都有 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关.