唐绍东笔记《重积分》挑战版

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一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f : [0, 1] \to R

连续, 求

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} f (\frac{x_{1} + \dots + x_{n}}{n}) d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n}

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2. 设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x^{2} + y^{2} ⩽ 4, x ⩾ 0, y ⩾ 0}

, 设

f (x, y)

为

D

上的连续函数, 且有

f (x, y) = \sin (π \sqrt{x^{2} + y^{2}}) - \frac{1}{π} \iint_{D} \frac{x f (x, y)}{x + y} d x d y

求

f (x, y)

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3. 计算

lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n!} \int_{0}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{n} - y^{n}}{e^{x} - e^{y}} d x d y - 2 n)

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4. (CMC,2009) 计算积分

\iint_{D} \frac{(x + y) \ln (1 + \frac{y}{x})}{\sqrt{1 - x - y}} d x d y

. 其中区域

D

是由直线

x + y = 1

与两坐标轴所围成的三角形区域

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5. 给定积分

I = \iint_{D} [{(\frac{\partial f}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}^{2}] d x d y

, 作正则变换

x = x (u, v), y = y (u, v)

, 区域

D

变为

Ω

，如果变换满足

\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial x}{\partial v} = - \frac{\partial y}{\partial u}

证明:

I = \iint_{Ω} [{(\frac{\partial f}{\partial u})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial v})}^{2}] d u d v

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6. 计算三重积分

∭_{(V)} (x^{2} + y^{2}) d V

, 其中

(V)

是由

x^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} ⩾ 4, x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} ⩽ 9

及

z ⩾ 0

所围成的空间图形。

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