解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f:[0,1] \rightarrow R$ 连续, 求
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\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n
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设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 设 $f(x, y)$ 为 $D$ 上的连续函数, 且有
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f(x, y)=\sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{\pi} \iint_D \frac{x f(x, y)}{x+y} d x d y
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求 $f(x, y)$
计算 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n!} \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{x^n-y^n}{e^x-e^y} d x d y-2 n\right)$
(CMC,2009) 计算积分 $\iint_D \frac{(x+y) \ln \left(1+\frac{y}{x}\right)}{\sqrt{1-x-y}} d x d y$. 其中区域 $D$ 是由直线 $x+y=1$ 与两坐标轴所围成的三角形区域
给定积分 $I=\iint_D\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right] d x d y$, 作正则变换 $x=x(u, v), y=y(u, v)$, 区域 $D$ 变为 $\Omega$ ，如果变换满足
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\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v}, \quad \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}
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证明:
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I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^2\right] d u d v
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计算三重积分 $\iiint_{(V)}\left(x^2+y^2\right) d V$, 其中 $(V)$ 是由 $x^2+y^2+(z-2)^2 \geqslant 4, x^2+y^2+(z-1)^2 \leqslant 9$及 $z \geqslant 0$ 所围成的空间图形。