单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
判断下列矩阵是否是正定矩阵
(1) $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right)$;
(2) $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{A.}$ (1)是 , (2)不是
$\text{B.}$ (1)是 , (2)是
$\text{C.}$ (1)不是 , (2)是
$\text{D.}$ (1)不是 , (2)不是
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+a x_3^2+4 x_1 x_2-6 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 的秩为 2 , 求 $a$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $x = P y$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$, 则 $a=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-5 x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x =a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$, 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 , 特征值之积为 -12 .
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形, 并写出所用的正交变换.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-5 x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 利用配方法化二次型为标准形。
利用配方法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3-3 x_2 x_3$ 为标准形.
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 则 $f$ 的正惯性指数为
已知 $A$ 是三阶可逆矩阵, 证明 $A ^{ T } A$ 是正定矩阵.