一、单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
1. 判断下列矩阵是否是正定矩阵
(1) ;
(2) .
(1)是 , (2)不是
(1)是 , (2)是
(1)不是 , (2)是
(1)不是 , (2)不是
二、填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
2. 已知二次型 的秩为 2 , 求 .
3. 已知二次型 经正交变换 可化成标准形 , 则
三、解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
4. 已知二次型 , 利用正交变换将二次型 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
5. 设二次型 , 其中二次型的矩阵 的特征值之和为 1 , 特征值之积为 -12 .
(1) 求 的值.
(2) 利用正交变换将二次型 化为标准形, 并写出所用的正交变换.
6. 已知二次型 , 利用配方法化二次型为标准形。
7. 利用配方法化二次型 为标准形.
8. 二次型 的秩为
9. 二次型 , 则 的正惯性指数为
10. 已知 是三阶可逆矩阵, 证明 是正定矩阵.