2008年上海交通大学第一学期高数A类期中考试题及答案解析

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2008年上海交通大学第一学期高数A类期中考试题及答案解析

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x)

和

g (x)

在

(- \infty, + \infty)

上有定义,

g (f (x)) = x

, 则 ( ).

A.

f (x)

存在反函数

B.

g (x)

存在反函数

C.

f (x)

和

g (x)

都存在反函数

D.

f (x)

和

g (x)

都不存在反函数

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2. 设

{x_{n}} = n^{2} (\sqrt{\cos \frac{1}{n}} - \cos \frac{1}{n})

, 则

A.

{x_{n}}

为无穷大量

B.

{x_{n}}

为无穷小量

C.

{x_{n}}

非无穷大量但无界

D.

{x_{n}}

非无穷小量但有界

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3. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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4. 设函数

f (x) \in C (R)

, 导函数

f^{'} (x)

的图像如下所示, 则

f (x)

在

R

上有 ( ).

A.

两个极小伹点, 一个极大值点

B.

两个极小值点, 两个极大值点

C.

三个极小值点, 一个极大值点

D.

一个极小值点, 两个极大值点

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5. 设函数

f (x)

在区问

[a, b]

上有定义, 对于命题
(1) 若

y = f (x)

在

[a, b]

上无界, 则

f (x)

在

[a, b]

上必存在间断点
(2) 若

y = f (x)

在

[a, b]

上可导, 则导函数

f^{'} (x)

在

[a, b]

上必有界
下列选项正确的是

A.

仅 (1) 正确

B.

仅（2）正确

C.

都正确

D.

都错误

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 函数

y = \sqrt{x - 1} + \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 2}}

的定义域为

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lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}}) =

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8. 若函数

y = {\begin{cases} (x + a)^{2} + b, & x < 0 \\ e^{x}, & x ⩾ 0 \end{cases}

在

x = 0

可导, 则

a =

b =

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9. 若

{\begin{matrix} x = e^{t} \\ y = \csc t \end{matrix}

, 则

\frac{d y}{d x}

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10.

y = (x - 1)^{2} (x - 2)^{2} (- 3 ⩽ x ⩽ 4)

的值域是

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 用极限定义证明:

lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{x^{2} + 1} = - 1

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12.

lim_{x \to 0} \frac{(x - 1) e^{x} + 1}{x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}}

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13.

lim_{x \to 0} (1 + \sin x - \sin (\sin x))^{\frac{1}{x^{3}}}

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14. 设方程

y = x \ln (x^{2} + y^{2})

确定了一个二阶可导的隐函数

y = y (x)

, 且

y (1) = 0

, 求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{x = 1}

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15. 设

f (x) = {(x^{2} - 3 x + 2)}^{n} \cos \frac{π x^{2}}{16}

, 求

f^{(n)} (2)

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16. 分析函数

y = \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}

的性态, 并作

y = f (x)

的简图,

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17. 设常数

T > 0

, 函数

f (x)

在

R

上连续, 且

f (x) \cos x

和

f (x) \sin x

都是以

T

为周期的周期函数。
(1) 证明:

f (x)

是周期函数;
(2) 若

f (x)

在

R

上二阶可导, 且存在常数

M > 0

, 使得

| f^{''} (x) | \leq M

对于

\forall x \in R

成立, 证明:

| f^{'} (x) | \leq M T

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