设常数 $T>0$, 函数 $f(x)$ 在 $R$ 上连续, 且 $f(x) \cos x$ 和 $f(x) \sin x$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数。
(1) 证明: $f(x)$ 是周期函数;
(2) 若 $f(x)$ 在 $R$ 上二阶可导, 且存在常数 $M>0$, 使得 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ 对于 $\forall x \in R$ 成立, 证明: $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M T$.