单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\theta)\left(\omega>0,|\theta| < \frac{\pi}{2}\right), f(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right)$ 上单调递增, 在区间 $\left(0, \frac{5 \pi}{6}\right)$ 上恰有 1 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{4}{5}, 2\right]$
$\text{B.}$ $\left(\frac{4}{5}, \frac{5}{4}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{4}{5}, 1\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5}{4}, 2\right]$
设 $a=\ln 1.02, b=\sin 0.02, c=\frac{1}{51}$, 则 $a, b, c$ 大小关系为
$\text{A.}$ $c < b < a$
$\text{B.}$ $c < a < b$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $a < c < b$
已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \alpha$, 则 $\cos \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
若 $15^{\log _{1.5} 2} \cdot t=6 \times 10^{\log _{1.5} 3}$, 则 $t=$
$\text{A.}$ 60
$\text{B.}$ 45
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 15
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$, 对任意 $x, y \in \mathbf{R}$, 都有 $f(2 x)+f(2 y)=-f(x+y) f(x-$ $y$ ), 且 $f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f(x)$ 为偶函数
$\text{C.}$ $f(x+1)$ 为奇函数
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^{2024} f(i)=0$
设 $z_1, z_2$ 为复数, 且 $z_1 z_2 \neq 0$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$
$\text{B.}$ $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
$\text{C.}$ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, 则 $z_1^2=z_2^2$
$\text{D.}$ $\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=-\sin \left(\frac{1}{2} x\right)-\sqrt{3} \cos \left(\frac{1}{2} x\right)$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间;
(2) 将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ (纵坐标不变), 再将所得的函数图象上所有点向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $g(x)$ 的图象, 求 $g(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的的最大值, 并求出 $g(x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的值.