已知函数 $f(x)=-\sin \left(\frac{1}{2} x\right)-\sqrt{3} \cos \left(\frac{1}{2} x\right)$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间;
(2) 将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ (纵坐标不变), 再将所得的函数图象上所有点向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $g(x)$ 的图象, 求 $g(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的的最大值, 并求出 $g(x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的值.