单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=n^2+2 n$, 则 $a_5=(\quad)$
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 8
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则 " $a_n>0$ " 是 " $\left\{S_n\right\}$ 是递增数列" 的 ( )
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
记 $T_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{1}{T_n}+\frac{1}{a_n}=1$, 则 $T_{10}=(\quad)$
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 11
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n ， a_1=1 ， S_n=2 a_{n+1}$ ，则 $a_4= $
$\text{A.}$ $\frac{27}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{27}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{8}$
若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足: $b_1+3 b_2+7 b_3+\cdots+\left(2^n-1\right) b_n=2 n$, 则数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式为
$\text{A.}$ $b_n=2 n-1$
$\text{B.}$ $b_n=2^n-1$
$\text{C.}$ $b_n=\frac{1}{2^n-1}$
$\text{D.}$ $b_n=\frac{2}{2^n-1}$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=2, \frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$, 则 $a_n=(\quad$ ）
$\text{A.}$ $2+n \ln n$
$\text{B.}$ $2+(n-1) \ln n$
$\text{C.}$ $1+n+\ln n$
$\text{D.}$ $2 n+n \ln n$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^n a_n=3 n-1$, 前 16 项和为 540 , 则 $a_1=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
嫦娥二号卫星在完成探月任务后, 继续进行深空探测, 成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星, 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列 $\left\{b_n\right\}: b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}, \quad b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}$, $b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}, \ldots$, 依此类推, 其中 $\alpha_k \in \mathbf{N}^*(k=1,2, \cdots)$. 则（）
$\text{A.}$ $b_1 < b_5$
$\text{B.}$ $b_3 < b_8$
$\text{C.}$ $b_6 < b_2$
$\text{D.}$ $b_4 < b_7$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
数列 $1,2,1,2, \ldots$ 的通项公式可能为
$\text{A.}$ $a_n=\frac{3+(-1)^n}{2}$
$\text{B.}$ $a_n=\frac{3+(-1)^{n+1}}{2}$
$\text{C.}$ $a_n=\frac{3+\cos n \pi}{2}$
$\text{D.}$ $a_n=\frac{3+\sin \frac{2 n+1}{2} \pi}{2}$
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: 对 $\forall i, j \in N^*$, 若 $i < j$, 则 $a_i < a_j$, 称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 "鲤鱼跃龙门数列". 下列数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 "鲤鱼跃龙门数列"的有
$\text{A.}$ $a_n=n^2-4 n+1$
$\text{B.}$ $a_n=\frac{n+1}{n+2}$
$\text{C.}$ $a_n=\sin n \pi$
$\text{D.}$ $a_n=\ln \frac{n}{n+1}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项为 $a_n=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4}{5}\right)^n, b_n=a_{n+1}-a_n$, 则（）
$\text{A.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 的最小项为 $a_1$
$\text{B.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 的最大项为 $a_5$
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\frac{b_{n+1}}{b_n}\right\}$ 的最小值为 -0.8
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\frac{b_{n+1}}{b_n}\right\}$ 的最大值为 2.4
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, 对于任意的 $n \in \mathbf{N}^*$ 都有 $a_n>0$, 且 $a_{n+1}^2-a_{n+1}=a_n$, 则下列结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ 对于任意的 $n \geq 2$, 都有 $a_n>1$
$\text{B.}$ 对于任意的 $a_1>0$, 数列 $\left\{a_n\right\}$ 不可能为常数列
$\text{C.}$ 若 $0 < a_1 < 2$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 为递增数列
$\text{D.}$ 若 $a_1>2$, 则当 $n \geq 2$ 时, $2 < a_n < a_1$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
试写出一个先减后增的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式: $a_n=$
记 [ $x$ ] 为不大于实数 $x$ 的最大整数, 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=[\lg n]$, 则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 2023 项的和 $S_{2023}=$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a>0, a_{n+1}=-a_n^2+t a_n\left(n \in N^*\right)$, 若存在实数 $t$, 使 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增, 则 $a$ 的取值范围是
著名的斐波那契数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$, 其 通 项 公 式为 $a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$ ，则 $\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2023}^2}{a_{2023}}$ 是 该 数 列 的 第 —_ 项 ; $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{12}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{12}=$