【25375】 【 2025年河北工业大学数学分析考研真题及参考解答】 解答题 判断 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2}n}{n^2}$ 敛散性．

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【25374】 【 2025年河北工业大学数学分析考研真题及参考解答】 解答题 已知 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$ ，证明： ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx$ 是否收敛，若收敛则证明，求其值．

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【25373】 【 2025年河北工业大学数学分析考研真题及参考解答】 解答题 求 $I_n={\int }_0^{n\pi }\frac{{\cos }^{3}x}{2{\sin }^{3}x+{\cos }^{4}x}dx$ ，其中 $n\in N_{+}$．

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【25372】 【 2025年河北工业大学数学分析考研真题及参考解答】 解答题 已知 $n\in N$ ，求不定积分 $I_n=\int {\tan }^{n}xdx$ 的递推公式．

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【25371】 【 2025年河北工业大学数学分析考研真题及参考解答】 解答题 求极限 $\underset{t\to 0}{lim}(\frac{1}{t}-\frac{\ln (1+t)}{t^2})$ ．

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【25370】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 设 $a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},n\in N_{+}$．讨论数列 $\left\{a_n\right\}$ 的敛散性，若收敛则求出其极限．（本题的另一种形式是求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\text{ 重 }}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}$ ，这时的第一步就是将数列写成递推形式．）

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【25369】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 计算极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n})$ ．

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【25368】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

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【25367】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 证明自然对数的底 e 是无理数．

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【25366】 【 谢惠民数学分析习题《数列收敛的性质》2003版】 解答题 记 ${\epsilon }_n=e-(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!})$ ，证： $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\epsilon }_n(n+1)!=1$ ．

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