【20234】 【 线性代数（矩阵的特征向量与特征值）专项训练】 单选题 已知 $A$ 为三阶方阵, 且有特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$, 已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是特征值 1 所对的特征向量, $\alpha_3$ 是特征值 2 所对的特征向量, 则下列选项正确的是:

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【20233】 【 线性代数（矩阵的特征向量与特征值）专项训练】 单选题 已知 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $A$ 的特征向量可以是 ( )

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【20232】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 已知 $A$ 是三阶可逆矩阵, 证明 $A ^{ T } A$ 是正定矩阵.

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【20231】 【 线性代数（二次型）专项训练】 单选题 判断下列矩阵是否是正定矩阵 (1) $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right)$; (2) $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)$.

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【20230】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 则 $f$ 的正惯性指数为

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【20229】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3+x_1\right)^2$ 的秩为

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【20228】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 利用配方法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3-3 x_2 x_3$ 为标准形.

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【20227】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-5 x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 利用配方法化二次型为标准形。

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【20226】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x =a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$, 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 , 特征值之积为 -12 . (1) 求 $a, b$ 的值. (2) 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形, 并写出所用的正交变换.

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【20225】 【 线性代数（二次型）专项训练】 填空题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $x = P y$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$, 则 $a=$

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