单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$
$\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $-x f\left(x^2\right)$
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
设函数 $f$ 连续，若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& D_{u v}: x^2+y^2=1, x^2+y^2=u^2, y=0, y=x \arctan v \\
& (u>1, v>0) \text { ，则 } \frac{\partial F}{\partial u}=
\end{aligned}
$$
$\text{A.}$ $v f\left(u^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{v}{u} f\left(u^2\right)$
$\text{C.}$ $v f(u)$
$\text{D.}$ $\frac{v}{u} f(u)$
" 对任意给定的 $\varepsilon \in(0,1)$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n \geq N$时，恒有 $\left|x_n-a\right| \leq 2 \varepsilon$ “是数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但非必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array}\right)$ ，则三条直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0, a_3 x+b_3 y+c_3=0$ (其中 $a_i^2+b_i^2 \neq 0, i=1,2,3$ ) 交于一点的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{C.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关， $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关
16. 设
$$
A =\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}
a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\
a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\
a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\
a_{44} & a_{43} & a_{42} & a_{41}
\end{array}\right), P _1=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
$P _2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 其中 $A$ 可逆, 则 $B ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A ^{-1} P _1 P _2$.
$\text{B.}$ $P _1 A ^{-1} P _2$.
$\text{C.}$ $P _1 P _2 A ^{-1}$.
$\text{D.}$ $P _2 A ^{-1} P _1$.
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且 $P(X=k)=\frac{3}{4^k}(k=1,2, \cdots)$ ，则 $P(X>Y)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$ ．
在区间 $(0,1)$ 上随机地取 $n$ 个点，将这 $n$ 个点按照从大到小的顺序排列起来，分别记为 $X_{(1)}$ ， $X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$ ，则 $E\left(X_{(1)}-X_{(n)}\right)$ 和 $E\left(X_{(1)}-X_{(2)}\right)$ 分别为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{n-1}{n}, \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{n-1}{n}, \frac{1}{n+1}$
$\text{C.}$ $\frac{n-1}{n+1}, \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $\frac{n-1}{n+1}, \frac{1}{n+1}$
设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从标准正态分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别为来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$ ，则下列说法正确的有 $(\quad)$ 个
（1）$n\left(\bar{X}^2+\bar{Y}^2\right) \sim \chi^2(2)$
（2）$(n-1)\left(S_1^2+S_2^2\right) \sim \chi^2(2 n-2)$
（3）$\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, n-1)$
（4）$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}+\bar{Y})}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}} \sim t(2 n-2)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t d t}{x}=$
三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$的通解为 $y=$
设向量场 $A (x, y, z)=\left(z^2, x^2, y^2\right)$ ，以点 $M_0(1,1,0)$ 为圆心， $\varepsilon$ 为半径，在 $x O y$ 面上作一圆盘 $\Sigma_{\varepsilon}$, 面积为 $\sigma_{\varepsilon}, \Gamma$ 为该圆盘的正向边界, $\tau$ 为 $\Gamma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量, 则 $\lim _{\sigma \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sigma_{\varepsilon}} \oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s$ $=$
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且 $f(x)=2 x+1, x \in(0, \pi)$ ，若 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_{2 n+1}=$
已知 3 阶实对称矩阵 $B$ 对应的二次型的正，负惯性指数相等，与矩阵 $B$ 相似的矩阵 $A$ 满足 $\left( A \alpha _1, A \alpha _2, A \alpha _3\right)=\left(a \alpha _1,(a-1) \alpha _3,(2+a) \alpha _2+3 \alpha _3\right)$ ，且对任一非零列向量 $\beta$ ，方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = \beta$ 均有解，则 $| B + E |=$
假设 $-0.25,-1.00,1.50,3.75$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值，已知 $Y=1-2 X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ，则 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 $\_\_\_\_$。
（注：$\Phi(1.96)=0.975, \Phi(1.645)=0.95$ ．）
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 附近的凹凸性.
已知一抛物线通过 $x$ 轴上的两点 $A(1,0), B(3,0)$.
(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.
计算曲线积分 $I=\int_l 5^2 \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+y^2 \mathrm{~d} z$ ．其中曲线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ 自点 $A(1,0,0)$至点 $B(0.0 .1)$ 的长弧段．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty)$
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(A)=n, A_{i j}$ 是 $A=\left(a_{i j}\right)_{\mathrm{m} \times n}$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|A|} x_i x_j .
$$
(1) 记 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(X)$ 的矩阵为 $A^{-1}$;
(2) 二次型 $g(X)=X^T A X$ 与 $f(X)$ 的规范形是否相同? 说明理由.
已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从 $(0,2)$ 上的均匀分布．
（I）求 $Z=X-Y$ 的概率密度函数；
（II）求 $E|Z|$ ；
（III）以 $X, Y$ 为边长作一个长方形，$Z_1, Z_2$ 分别表示长方形的面积和周长，求其相关系数 $\rho_{Z_1, Z_2}$ ．