单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
在空间直角坐标系下, 下列曲面方程中为平面方程的是
$\text{A.}$ $y-2 x^2=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2-z+1=0$
$\text{C.}$ $2 x+y+6 z+5=0$
$\text{D.}$ $\sin x-x y=0$
已知 $| a |=2,| b |=\sqrt{2}$ ，且 $a \cdot b =2$ ，则 $| a \times b |=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 1
曲面 $x+y^2-1=0$ 在点 $P(1,0,3)$ 处的法向量为
$\text{A.}$ $(1,0,0)$
$\text{B.}$ $(1,0,3)$
$\text{C.}$ $(1,2,0)$
$\text{D.}$ $(0,0,1)$
设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为两个非零向量，$\lambda$ 为非零常数，若向量 $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ 与向量 $\vec{b}$ 垂直，则 $\lambda$ 等于（）。
$\text{A.}$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\vec{a} \cdot \vec{b}$
曲面 $x^2+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$ ．
$\text{B.}$ $x+y+z=0$ ．
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$ ．
$\text{D.}$ $x-y-z=0$ ．
已知曲线方程是 $x=t, y=\frac{1}{2} t^2+t, z=\frac{1}{2} t^2$ ，则曲线在下列哪一点处的切线平行于平面 $x+2 y+z=1$ （ ）
$\text{A.}$ $P_1\left(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ；
$\text{B.}$ $P_2(2,4,2)$ ；
$\text{C.}$ $P_3(-2,0,2)$ ；
$\text{D.}$ $P_4\left(-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
填空题 （共 19 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
点 $A(2,1,-1)$ 关于平面 $x-y+2 z=5$ 的对称点坐标为
设空间曲面 $y^2+2 z^2=3 x$, (1) 求曲面在点 $(1,1,-1)$ 处的切平面方程;
(2) 求曲面与 $2 x-3 y+5 z=4$ 的交线在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
求 $\operatorname{grad} f(r)$, 其中 $f$ 为可微函数, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
原点 $O(0,0,0)$ 到平面 $x+y-z=1$ 的距离为
过点 $(1,2,3)$ 且垂直于平面 $x+y+z=1$ 的直线方程为
一平面 $\pi$ 过球面 $x^2+y^2+z^2=4 x-2 y-2 z$ 的球心，并垂直于直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y+z=0\end{array}\right.$ ，求该平面与该球面的交线在 $x O y$ 坐标面上的投影．
设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \bullet \vec{c}=2$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{c}+\vec{b})] \bullet(\vec{c}+\vec{a})=$ $\qquad$
求过 $M_1(2,-1,4), M_2(-1,3,-2), M_3(0,2,3)$ 三点的平面方程．
设一平面 $\pi$ 经过原点及点 $M(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，求此平面的方程．
点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=4$ 的距离为
若向量 $\vec{a}=(2,3,-2)$ 与 $\vec{b}=\left(1, \frac{3}{2}, m\right)$ 平行，则 $m=$ $\qquad$
已知动点 $M(x, y, z)$ 到 $x o y$ 面的距离与到点 $(2,1,1)$ 距离相等，则该动点的轨迹方程为
已知直线 $\frac{x+1}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-1}{3}$ 与平面 $m x-2 y-2 z=3$ 平行，则 $m=$
已知 $\vec{a}=2 \vec{i}+3 \vec{j}-\vec{k}, \vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k}, \vec{c}=\vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}$ ，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}+(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}=$
已知单位向量 $e_1, e_2$ 互相垂直，则以 $2 e_1-e_2$ 与 $e_1+2 e_2$ 为边的三角形的面积为
过点 $M_0(1,-1,2)$ 且与平面 $\pi_1: x+2 y-z-2=0$ 与 $\pi_2: x-y-z-4=0$ 的交线垂直的平面为
一平面经过点 $M_1(2,1,3)$ 及点 $M_2(3,4-1$ ，且与平面 $3 x-y+6 z-6=0$ 垂直，该平面方程为
一直线位于 $\pi: x+y+z+1=0$ 内，与直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+2 z=0, \\ y+z+1=0\end{array}\right.$ 垂直，且经过直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的交点，求该直线．
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设向量 $a =(2,-2,-1)$, 求向量 $a$ 的方向角和方向余弦.
试将直线的一般式方程
$$
L:\left\{\begin{array}{l}
2 x-3 y+z-5=0, \\
3 x+y-2 z-2=0
\end{array}\right.
$$
化为标准式方程和参数式方程.
设平面 $\pi$ 过直线 $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{-1}$, 且平行于直线 $\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$, 求平面 $\pi$ 的方程。
求过点 $(-1,-4,3)$ 且与两直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=1 \\ x+3 y=-5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=2+4 t \\ y=-1-t \\ z=-3+2 t\end{array}\right.$ 都垂直的直线．
求过点 $(-1,0,4)$ 且平行于平面 $3 x-4 y+z=10$ ，又与直线 $L_1: x+1=y-3=\frac{z}{2}$ 相交的直线方程．
求过直线 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$ 且垂直于平面 $\pi: 3 x+2 y-z-5=0$ 的平面方程
已知两点 $M_1(4, \sqrt{2}, 1)$ 和 $M_2(3,0,2)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 的模、方向余弦和方向角．
求过点 $(1,2,1)$ 且与两直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-3}{-3}$ 和 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z=3 \\ x+2 y-2 z=1\end{array}\right.$ 平行的平面方程。
求过点 $(1,2,0)$ 且与两平面 $x+2 y+2 z=1$ 和 $x+y-3 z=2$ 平行的直线方程．
设 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=4$ ，试求 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{a}+\vec{c})$ ．
设 $a , b$ 为单位向量，且两向量的夾角为 $\frac{\pi}{4}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{| a +x b |-1}{x}=$
设点 $A(1,0,-1), B(2,1,0), C(0,1,1)$ 则由 $A, B, C$ 所构成的三角形面积为
求与原点 $O$ 及 $M_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面方程。
求拋物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,2,5)$ 处的切平面方程及法线方程．