单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设平面 $D$ 是由曲线 $y=\ln x$, 直线 $x=1, y=1$ 围成的第一象限的有界区域, 记 $D$分别绕$x$轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_1, V_2$, 则
$\text{A.}$ $V_2>\frac{\pi}{2}>V_1$.
$\text{B.}$ $V_1>\frac{\pi}{2}>V_2$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}>V_1>V_2$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}>V_2>V_1$.
记曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array},(a>0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围区域为 $D . D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_1$, 绕直线 $y=2 a$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_2$, 则 ( )
$\text{A.}$ $V_1 < V_2$.
$\text{B.}$ $V_1=V_2$.
$\text{C.}$ $V_1>V_2$.
$\text{D.}$ $V_1, V_2$ 的大小关系与 $a$ 有关.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设正向封闭曲线 $C: x^2+y^2=\pi$ 与正向封闭路线 $L:|x|+|y|=\frac{\pi}{4}$, 已知 $\oint_C \frac{x^2 y d y-x y^2 d x}{x^4+y^4}$ $=0$, 则 $\oint_L \frac{x^2 y d y-x y^2 d x}{x^4+y^4}=$
设 $\Omega$ 是由 $x=0, z=0, z=1-y^2$ 和 $x=\sqrt{y}$ 所围成的区域, 则 $I=\iiint_{\Omega} \frac{x z}{(1+y)^2} d V=$
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
有一容器, 其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x>0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成, 容器底部 (原点处) 开有一小孔. 已知液体从容器底部流出的速率 $v=k \sqrt{2 g h}$ (单位: $m / s$ ), 其中 $g$ 为重力加速度 (单位: $m / s ^2$ ), $h$ 为小孔上方的液面高度 (单位: m ), $k$ 为大于 0 的常数. 若液面高度以 $l m / s$ 的速率匀速下降, 则 $y(x)=$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 内连续可导, 且曲线 $y=f(x)$ 上介于点 $A(1, f(1))$ 与点 $B(x, f(x))$ 之间的一段弧的弧长为 $f(x)+x^2-1$.
(1) 求函数 $y=f(x)$ 的表达式;
(2) 设曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=2$ 及 $x$ 轴所围的有界区域为 $D$, 求 $D$ 围绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积 $V$.
设 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \leqslant t^{\frac{2}{3}}\right.\right\}$, 且 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos ^3 \sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ a, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在
全平面连续.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 计算 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设 $f(x, y)$ 在单位圆上有连续的一阶偏导数, 且在边界上取值为零. 证明:
$$
f(0,0)=\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \frac{-1}{2 \pi} \iint_{D_s} \frac{x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}}{x^2+y^2} d x d y
$$
其中 $D_{\varepsilon}$ 为圆环域， $\varepsilon^2 \leq x^2+y^2 \leq 1$.
设曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x \geqslant 0)$ 的拐点的横坐标为 $x=a$.
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 若 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x < a, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^2}\right\}$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积.
设函数 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2}$ 满足等式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D e^{s^2+t^2} d s d t+\pi$, 其中区域 $D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant r^2\right\}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}1,0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { else }\end{array}\right.$, 且 $D$ 由 $x=0, y=0, x+y \leq t$ 围成, $[1+x+y]$表示不超过 $1+x+y$ 的最大整数, 若 $g(t)=\iint_D f(x, y)[1+x+y] d x d y$, 求 $g(t)$.
计算 $\iint_D\left(\sin x^2 \cos y^2+x \sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant \pi\right\}$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件: $a_0=1$, 且 $a_n=\frac{2 n-1}{2 n} a_{n-1}, S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2 n}$ 的和函数.
（I）证明：当 $x \in(-1,1)$ 时， $S(x)$ 满足微分方程 $\left(1-x^2\right) S^{\prime}(x)=x S(x)$ ，并求出 $S(x)$ ；
（II）设平面闭区域 $D$ 是由曲线 $y=S(x)\left(-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
设曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x \geqslant 0)$ 的拐点的横坐标为 $x=a$,
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 若 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x < a, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^2}\right\}$, 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积.
求由曲线 $y=4-x^2$ 及 $y=0$ 所围成的图形绕直线 $x=3$ 旋转一周所形成旋转体的体积.
设 $P=2 x z f(y+z)-y^3, Q=2 y z f(y+z)+x^3, R=\int_0^{x^2+y^2} f(z-t) d t$ ，其中 $f$ 具有一阶连续导数。且 $L$ 为曲面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $y+z=1$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往下看为逆时针方向, 计算
$$
\oint_L P d x+Q d y+R d z .
$$
设 $f(x)$ 具有一阶连续导数,
$$
\iint_D f(x y) d \sigma=\int_0^x\left[f^{\prime}(t)-x t f\left(x^2-t^2\right)\right] d t, f(0)=a,
$$
其中 $D$ 是 $y=|x|^3$ 与 $y=1$ 围成的有界闭区域, 求 $\iint_D f(x y) d \sigma$.
设某光滑曲线的方程为 $f(x, y)=0(x>0,0 < y \leqslant a)$. 若该曲线在某点的切线与坐标轴及过切点平行于 $x$ 轴的直线所围成梯形的面积恒为 $a^2$, 且 $f(a, a)=0$. 求:
(1) 该曲线方程;
(2) 曲线上横坐标的最小值.
设 $f(x)$ 具有 1 阶连续导数,
$$
\iint_D f(x y) d \sigma=\int_0^x\left[f^{\prime}(t)-x t f\left(x^2-t^2\right)\right] d t, f(0)=a,
$$
其中 $D$ 是 $y=|x|^3$ 与 $y=1$ 围成的有界闭区域, 求 $\iint_D f(x y) d \sigma$.
设某半球体型物体 $A$ 占据空间区域 $\Omega: 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{1-x^2-y^2}$. 密度函数 $\rho(x, y, z)$ 满足
$$
\rho(x, y, z)=4 z+\frac{2}{\pi} \sqrt{x^2+y^2} \iint_{\Omega} \rho(x, y, z) d v .
$$
(I) 求 $\rho(x, y, z)$;
(II) 求 $A$ 的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$.