单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设平面 $D$ 是由曲线 $y=\ln x$, 直线 $x=1, y=1$ 围成的第一象限的有界区域, 记 $D$分别绕$x$轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_1, V_2$, 则
$\text{A.}$ $V_2>\frac{\pi}{2}>V_1$.
$\text{B.}$ $V_1>\frac{\pi}{2}>V_2$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}>V_1>V_2$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}>V_2>V_1$.
记曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array},(a>0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围区域为 $D . D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_1$, 绕直线 $y=2 a$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_2$, 则 ( )
$\text{A.}$ $V_1 < V_2$.
$\text{B.}$ $V_1=V_2$.
$\text{C.}$ $V_1>V_2$.
$\text{D.}$ $V_1, V_2$ 的大小关系与 $a$ 有关.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设正向封闭曲线 $C: x^2+y^2=\pi$ 与正向封闭路线 $L:|x|+|y|=\frac{\pi}{4}$, 已知 $\oint_C \frac{x^2 y d y-x y^2 d x}{x^4+y^4}$ $=0$, 则 $\oint_L \frac{x^2 y d y-x y^2 d x}{x^4+y^4}=$
设 $\Omega$ 是由 $x=0, z=0, z=1-y^2$ 和 $x=\sqrt{y}$ 所围成的区域, 则 $I=\iiint_{\Omega} \frac{x z}{(1+y)^2} d V=$
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成有界区域的面积为
有一容器, 其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x>0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成, 容器底部 (原点处) 开有一小孔. 已知液体从容器底部流出的速率 $v=k \sqrt{2 g h}$ (单位: $m / s$ ), 其中 $g$ 为重力加速度 (单位: $m / s ^2$ ), $h$ 为小孔上方的液面高度 (单位: m ), $k$ 为大于 0 的常数. 若液面高度以 $l m / s$ 的速率匀速下降, 则 $y(x)=$