单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
设有一阶微分方程 (1) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$ 和微分方程 (2) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$, 则 $y=(\arctan x)^2 $.
$\text{A.}$ 是 (1) 的解, 也是 (2) 的解
$\text{B.}$ 是 (1) 的解, 不是 (2) 的解
$\text{C.}$ 是 (2) 的解, 不是 (1) 的解
$\text{D.}$ 不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
设隐函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^2(x-y)=x^2$ 所确定，则
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{y^2}=
$$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $f^{\prime}(x) \geqslant 0(x>0), f(0)=k>0$, 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形的面积为 $A(x), y=f(x)$ 在 $[0, x]$ 上的弧长为 $s(x)$, 且 $A(x)=k s(x)$, 求 $f(x)$.