填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设可导函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x) \cos x+2 \int_0^x \varphi(t) \sin t d t=x+1$ ，求 $\varphi(x)$ ．
通过变量代换 $x=\sin t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，化简以下微分方程并求其通解：
$$
\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+y=0 \quad(-1 < x < 1)
$$
设 $y_1(x)=(-1)^{n+1} \frac{1}{3(n+1)^2}(n \pi \leq x < (n+1) \pi)$ ， $n=0,1,2, \cdots, y_2(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-y=e^{-x} \sin x$ 满足条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=-\frac{1}{3}$ 的特解，求广义积分
$$
\int_0^{+\infty} \min \left\{y_1(x), y_2(x)\right\} d x
$$
解方程 $x y^{\prime}+x+\sin (x+y)=0$ ；
解方程 $\left(1+ e ^{-\frac{x}{y}}\right) y d x+(y-x) d y=0$ ；