单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y=f(x)$ 为方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解，$f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则 $f(x)$ 在
$\text{A.}$ $x=x_0$ 的邻域内单增
$\text{B.}$ $x=x_0$ 的邻域内单减
$\text{C.}$ 在 $x=x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ 在 $x=x_0$ 处取极小值
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left( e ^x \sin y\right)$ 满足方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=z e ^{2 x}$ ，试求 $f(u)$ ．
已知 $y_1=x e ^x+ e ^{2 x}, y_2=x e ^x- e ^{-x}, y_3=x e ^x+ e ^{2 x}+ e ^{-x}$ 为某二阶线性常系数非齐次方程的特解，求此方程．
若 $y= e ^{2 x}+(x+1) e ^x$ 是方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e ^x$ 的解，求 $a, b, c$ 及该方程的通解．
设 $y_1=x, y_2=x+ e ^{2 x}, y_3=x\left(1+ e ^{2 x}\right)$ 为二阶常系数线性非齐次方程的三个特（1）解，（1）求该方程的通解；（2）方程本身的形式．
设 $x>0$ ，微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x+2$ 的通解为
设曲线 $y=f(x)$ 为连结 $A(1,0)$ 与 $B(0,1)$ 两点的弧段且位于弦 $A B$ 的上方（见下图）， $P(x, y)$ 为其上任意一点，弦 $B P$ 与该曲线围成的面积为 $x^3$ ，试求该曲线方程。
设对任意 $x>0$ ，曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，求 $f(x)$ ．
设 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导，且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ．过 $y=y(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，且 $2 S_1-S_2=1$ ，求 $y(x)$ ．
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来．现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 km / h$ ．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $k=6.0 \times 10^6 kg / h$ ）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
差分方程 $2 y_{t+1}+10 y_t-5 t=0$ 的通解为