单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
设有一阶微分方程 (1) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$ 和微分方程 (2) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$, 则 $y=(\arctan x)^2 $.
$\text{A.}$ 是 (1) 的解, 也是 (2) 的解
$\text{B.}$ 是 (1) 的解, 不是 (2) 的解
$\text{C.}$ 是 (2) 的解, 不是 (1) 的解
$\text{D.}$ 不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解
已知 $\left(a x y^3-y^2 \cos x\right) d x+\left(1+b y \sin x+3 x^2 y^2\right) d y$ 为某二元函数的全微分, 则 $a$ 和 $b$ 的 值分别为
$\text{A.}$ $-2$ 与 $2$
$\text{B.}$ $-3$ 与 $3$
$\text{C.}$ $2$ 与 $-2$
$\text{D.}$ $3$ 与 $-3$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{2 x}$ 的特解 $y^*$ 的形式可设为
$\text{A.}$ $\operatorname{axe}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(a x+b) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $(a x+b) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $a x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
$\text{C.}$ $3 \ln x+1, x>0$
$\text{D.}$ $3 \ln x+3, x>0$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_0^1 f(t x) d t+2 \int_0^x f(t) d t=x f(x)+x^3$ ，则可得
$\text{A.}$ $f(x)=C x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right),(C$ 为任意常数).
$\text{B.}$ $ f(x)=x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}C x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$,( $C$ 为任意常数).
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\
0, x=0
\end{array}\right.$