单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
设有一阶微分方程 (1) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime 2}=4 y$ 和微分方程 (2) $\left(1+x^2\right)^2 y^{\prime \prime}+2 x\left(1+x^2\right) y^{\prime}=2$, 则 $y=(\arctan x)^2 $.
$\text{A.}$ 是 (1) 的解, 也是 (2) 的解
$\text{B.}$ 是 (1) 的解, 不是 (2) 的解
$\text{C.}$ 是 (2) 的解, 不是 (1) 的解
$\text{D.}$ 不是 (1) 的解, 也不是 (2) 的解
已知 $\left(a x y^3-y^2 \cos x\right) d x+\left(1+b y \sin x+3 x^2 y^2\right) d y$ 为某二元函数的全微分, 则 $a$ 和 $b$ 的 值分别为
$\text{A.}$ $-2$ 与 $2$
$\text{B.}$ $-3$ 与 $3$
$\text{C.}$ $2$ 与 $-2$
$\text{D.}$ $3$ 与 $-3$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{2 x}$ 的特解 $y^*$ 的形式可设为
$\text{A.}$ $\operatorname{axe}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(a x+b) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $(a x+b) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $a x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
$\text{C.}$ $3 \ln x+1, x>0$
$\text{D.}$ $3 \ln x+3, x>0$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_0^1 f(t x) d t+2 \int_0^x f(t) d t=x f(x)+x^3$ ，则可得
$\text{A.}$ $f(x)=C x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right),(C$ 为任意常数).
$\text{B.}$ $ f(x)=x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}C x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$,( $C$ 为任意常数).
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\
0, x=0
\end{array}\right.$
设曲线 $y=y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-y= e ^x+4 \cos x$ 的解,且其在点 $(0,1)$ 处与抛物线 $y=x^2-x+1$相切，则 $y=$
$\text{A.}$ $\frac{9}{4} e ^x-\frac{3}{4} e ^{-x}+\frac{1}{2} x^2 e ^x+2 \sin x$.
$\text{B.}$ $\frac{9}{4} e ^x+\frac{3}{4} e ^{-x}+\frac{1}{2} x e ^x-2 \cos x$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{4} e^x-\frac{9}{4} e^{-x}+\frac{1}{2} x^2 e^x+2 \sin x$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4} e^x+\frac{9}{4} e^{-x}+\frac{1}{2} x e^x-2 \cos x$
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) d t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $e ^x \ln 2$.
$\text{B.}$ $e ^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $e ^x+\ln 2$.
$\text{D.}$ $e ^{2 x}+\ln 2$.
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解, 若常数 $\lambda, \mu$使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ 。
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$.
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$.
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$.
设 $f(x)$ 为微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解, 且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递减
$\text{B.}$ $x_0$ 处取极小值
$\text{C.}$ $x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递增
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0(a>0)$, 且 $f(0)=m, f^{\prime}(0)=n$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y z^2+\sqrt{x^2+y^2}+z=2$ 确定, 则 $\left.d z\right|_{\substack{x=1 \\ y z 0}}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
解答题 （共 24 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $f^{\prime}(x) \geqslant 0(x>0), f(0)=k>0$, 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形的面积为 $A(x), y=f(x)$ 在 $[0, x]$ 上的弧长为 $s(x)$, 且 $A(x)=k s(x)$, 求 $f(x)$.
设 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 其中函数 $f$ 二阶可微, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=1$, 若函数 $u=f(r)$ 满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$, 试求 $f(r)$ 的表达式.
设曲线 $y=y(x)$ 由参数方程 $x=t \ln t, y=\frac{\ln t}{t}\left(t>\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 给出, 求:
(I) $y=y(x)$ 的单调区间和极值、凹凸区间和拐点；
(II) 由曲线 $y=y(x)$, 直线 $x=-\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围成平面区域的面积.
设 $y=f(x)$ 是
$$
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}
$$
的解，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，计算 $\int_0^1 d y \int_y^1 f\left(x^2\right) d x$.
设 $f(x)$ 有一阶连续的导函数, $f(0)=0$; 且微分方程: $\left(y f(x)+y^2+2 x y\right) d x+(f(x)+2 x y) d y=0$ 是全微分方程。
(1) 求 $f(x)$, (2) 写出全微分方程的通解。
求 方 程 $x+y y^{\prime}=f(x) g\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 的 通 解, 并由 此结果求 $x+y y^{\prime}=\tan x \cdot\left(\sqrt{x^2+y^2}-1\right)$ 的通解。
设函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)= e ^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y$ ，求 $f(t)$ ．
求 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e ^{-x} \cos x+ e ^{2 x}(4 x+5)$ 的通解．
设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e ^x$ 的一个特解为 $y^*= e ^{2 x}+(1+x) e ^x$ ．确定常数 $\alpha$ ， $\beta, \gamma$ ，并求该方程的通解．
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛，试求 $a$ 的取值范围．
解方程 $\left(x y-y^2\right) d x-\left(x^2-2 x y\right) d y=0$ ．
求齐次方程 $\left(y^2-3 x^2\right) d y+2 x y d x=0,\left.y\right|_{x=0}=1$ 满足所给初始条件的特解
验证 $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_1, \quad C_2\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解．
求方程 $\frac{d^2 s}{d t^2}+2 \frac{d s}{d t}+s=0$ 满足初始条件 $\left.s\right|_{t=0}=4,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=-2$ 的特解．
$4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ；
求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=3-2 x$ 的一个特解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\cos x$ ，满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$ 的特解．
设可导函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x) \cos x+2 \int_0^x \varphi(t) \sin t d t=x+1$ ，求 $\varphi(x)$ ．
设二阶线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x(a, b, c$ 均为常数）有特解 $y=e^{-x}\left(1+x e^{2 x}\right)$ ，求此方程的通解．
设 $y_1(x)=(-1)^{n+1} \frac{1}{3(n+1)^2}(n \pi \leq x < (n+1) \pi)$ ， $n=0,1,2, \cdots, y_2(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-y=e^{-x} \sin x$ 满足条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=-\frac{1}{3}$ 的特解，求广义积分
$$
\int_0^{+\infty} \min \left\{y_1(x), y_2(x)\right\} d x
$$
解方程 $\left(1+ e ^{-\frac{x}{y}}\right) y d x+(y-x) d y=0$ ；
解方程 $y^{\prime}=\frac{x+y-1}{2 x-y+2}$
解方程 $(x+1) y^{\prime}-n y=(x+1)^{n+1} x \sin x^2$ ；