填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1+e^x\right) y y^{\prime}=e^x \\ y(0)=\sqrt{2 \ln 2}\end{array}\right.$ 的解为 $y(x)=$
解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
验证 $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_1, \quad C_2\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解．
求方程 $\frac{d^2 s}{d t^2}+2 \frac{d s}{d t}+s=0$ 满足初始条件 $\left.s\right|_{t=0}=4,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=-2$ 的特解．
求微分方程 $y^n+3 y^{\prime}+2 y=3 x e^{-x}$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=e^x \sin 2 x$ 的一个特解．
设可导函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x) \cos x+2 \int_0^x \varphi(t) \sin t d t=x+1$ ，求 $\varphi(x)$ ．
通过变量代换 $x=\sin t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，化简以下微分方程并求其通解：
$$
\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+y=0 \quad(-1 < x < 1)
$$
设 $y_1(x)=(-1)^{n+1} \frac{1}{3(n+1)^2}(n \pi \leq x < (n+1) \pi)$ ， $n=0,1,2, \cdots, y_2(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-y=e^{-x} \sin x$ 满足条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=-\frac{1}{3}$ 的特解，求广义积分
$$
\int_0^{+\infty} \min \left\{y_1(x), y_2(x)\right\} d x
$$
解方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{1}{2} \tan ^2(x+2 y)$ ；
解方程 $x y^{\prime}+x+\sin (x+y)=0$ ；
解方程 $y^{\prime}+x y^2-y^2=1-x$ ；
解方程 $\left(1+ e ^{-\frac{x}{y}}\right) y d x+(y-x) d y=0$ ；
解方程 $(x+1) y^{\prime}-n y=(x+1)^{n+1} x \sin x^2$ ；
求微分方程 $3 y^{\prime}-y \sec x=y^4 \tan x$ 的通解．
求方程 $\left(2 x^2-3 x^2 y-x y^2\right) \frac{ d y}{d x}+y^3=0$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=\sqrt{y} x^3$ 的通解．
$y^{\prime \prime}=\frac{1+y^{\prime 2}}{2 y}$ ；
$y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=y^2 \ln y$ ；
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 y y^{\prime \prime}=y^{\prime 2}+y^2 \\
y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1
\end{array} .\right.
$$