单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+$ $\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解，若 $f\left(x_0\right)>0$ ，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则函数 $f(x)$在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 取得极小值
$\text{C.}$ 某个邻域内单调增加
$\text{D.}$ 某个邻域内单调减少
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程有特解 $y_1(x)= e ^x \cos 2 x, y_2(x)=x$ ，且方程中 $y^{(n)}$前的系数为 1 ，则最小的 $n=$ $\qquad$ ，该方程为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $L$ 是一条平面曲线，其上任意一点 $P(x, y)(x>0)$ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，且 $L$ 经过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ ．求曲线 $L$ 的方程
设 $F(x)=f(x) g(x)$ ，其中函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足以下条件：
$f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=f(x) \text {, 且 } f(0)=0, f(x)+g(x)=2 e^x$
（1）求 $F(x)$ 所满足的微分方程；
（2）求出 $F(x)$ 的表达式．
求微分方程 $\left(x \frac{d y}{d x}-y\right) \arctan \frac{y}{x}=x$ 的通解．
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛，试求 $a$ 的取值范围．
求齐次方程 $\left(y^2-3 x^2\right) d y+2 x y d x=0,\left.y\right|_{x=0}=1$ 满足所给初始条件的特解
验证 $y_1=e^{x^2}$ 及 $y_2=x e^{x^2}$ 都是方程 $y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^2-2\right) y=0$ 的解，并写出该方程的通解．
验证 $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_1, \quad C_2\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解．
求微分方程 $y^n+3 y^{\prime}+2 y=3 x e^{-x}$ 的通解．