单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=f(x)$ 是
$$
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}
$$
的解，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，计算 $\int_0^1 d y \int_y^1 f\left(x^2\right) d x$.
已知上半平面内一曲线 $y=y(x) \quad(x \geq 0)$, 过点 $(0,1)$, 且曲线上任一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处切线斜率数值上等于此曲线与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x=x_0$ 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和, 求此曲线方程.
设 $f(x)$ 有一阶连续的导函数, $f(0)=0$; 且微分方程: $\left(y f(x)+y^2+2 x y\right) d x+(f(x)+2 x y) d y=0$ 是全微分方程。
(1) 求 $f(x)$, (2) 写出全微分方程的通解。
求 方 程 $x+y y^{\prime}=f(x) g\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 的 通 解, 并由 此结果求 $x+y y^{\prime}=\tan x \cdot\left(\sqrt{x^2+y^2}-1\right)$ 的通解。
设函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)= e ^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y$ ，求 $f(t)$ ．
求 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 e ^{-x} \cos x+ e ^{2 x}(4 x+5)$ 的通解．
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e ^{\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(1)=\sqrt{ e }$ 的特解．
（1）求 $y(x)$ ；
（2）设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant y(x)\}$ ，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积．
$\frac{d y}{d x}-y \tan x=\sec x,\left.\quad y\right|_{x=0}=0$ ；
$\frac{d y}{d x}+y \cot x=5 e^{\cos x},\left.\quad y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ；