单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha$ ，且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量,$y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$.
$\text{D.}$ $\pi e ^{\frac{\pi}{4}}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上连续可导,且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. 当 $x>0$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 上点 $(x, f(x))$ 处的切线在 y 轴上的截距等于 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t$ ，则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \ln x+3, x>0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} \ln x+1, x>0$
$\text{C.}$ $3 \ln x+1, x>0$
$\text{D.}$ $3 \ln x+3, x>0$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_0^1 f(t x) d t+2 \int_0^x f(t) d t=x f(x)+x^3$ ，则可得
$\text{A.}$ $f(x)=C x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right),(C$ 为任意常数).
$\text{B.}$ $ f(x)=x^2-3 x^2 \ln (1+x)\left(x_{\in}[0,+\infty)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}C x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$,( $C$ 为任意常数).
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^2-3 x^2 \ln x, x>0 \\
0, x=0
\end{array}\right.$
已知 $y_1=x^2 e ^x, y_2= e ^{2 x}(3 \cos 3 x-2 \sin 3 x)$ 是某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的 $n$ 为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) d t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $e ^x \ln 2$.
$\text{B.}$ $e ^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $e ^x+\ln 2$.
$\text{D.}$ $e ^{2 x}+\ln 2$.
设 $f(x)$ 为微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解, 且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递减
$\text{B.}$ $x_0$ 处取极小值
$\text{C.}$ $x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递增