单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y=3^x+x e ^{-x} \cos x$ ，下列 $a, b, b_1, b_2, c, c_1, c_2, d$ 均为任意常数，则其特解形式为（ ）。
$\text{A.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}\left[\left(b_1 x+c_1\right) \cos x+\left(b_2 x+c_2\right) \sin x\right]$
$\text{B.}$ $e \cdot 3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
$\text{C.}$ $a \cdot 3^x+x e ^{-x}(b x+c) \cos x$
$\text{D.}$ $3^x+ e ^{-x}[(a x+b) \cos x+(c x+d) \sin x]$
已知区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}, y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=2$ 围成，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则对于二重积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ ，下列表达式错误的是（ ）。
$\text{A.}$ $\int_0^2 d x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{2 x}} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x+\int_0^1 d y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^2 f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{\frac{y^2}{2}}^2 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{2 \cos \theta}^{\frac{2 \cos \theta}{\sin ^2 \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{2}{\cos \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{\frac{2}{\sin \theta}}^{\frac{2 \cos \theta}{2} \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r-\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
已知 $z=2 x-3 y$ ，其中 $x, y$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}x y+u-v=1, \\ 2 x^2-y+u v=0\end{array}\right.$ 确定的 $u$ 与 $v$ 的隐函数，当 $(x, y)=$ $\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}, 0\right)$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial u}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-4+\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $4+\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $-4-\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $4-\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
设有二元方程 $x^2+y^2-y+\ln (1+x y)=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(1,0)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 既能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，也能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{B.}$ 既不能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，也不能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{C.}$ 不能确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，但可以确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$ ．
$\text{D.}$ 可以确定一个具有连续导数的隐函数 $y=y(x)$ ，但不能确定一个具有连续导数的隐函数 $x=x(y)$.
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x, y)= e ^y\left(a x^2-y+b\right)$ 在 $(0,0)$ 点取得极值，则参数 $a, b$ 的取值范围为
已知函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right.\right\}$ 有连续偏导数，且 $f(x, x)=$
$$
\frac{\sec ^2 x}{(1+\tan x)^2}, \iint_D f(x, y) d x d y=\ln 2 \text {, 则 } \iint_D y f_y^{\prime} d x d y=
$$
向量场 $u (x, y, z)=x y^2 i +y z^2 j +z x^2 k$ 在点 $M(1,1,1)$ 处的旋度 rot $u =$ $\qquad$
设 $z=f\left[\sin \left(x^2+y^2\right), \ln \left(1+x^2+y^2\right)\right]$ ，其中 $f$ 具有连续的一阶偏导数，则 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0.0)}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $z(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，自变量代换 $\left\{\begin{array}{l}u=x+a y, \\ v=x-2 y\end{array}\right.$ 使得
$$
6 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}
$$
化为不含 $\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}$ 但含 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}$ 的方程．
（1）求常数 $a$ ；
（2）求函数 $z(u, v)$ 的表达式．
已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\sqrt{4 x-x^2}}, & 2 x^2-4 x>y^2, \\ x(y+1), & 2 x^2-4 x < y^2,\end{array}\right.$ 求二重积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ ，其中区域 $D$ 由直线 $x=4$ 与曲线 $x=4-\sqrt{16-y^2}$ 围成．
已知 $z=z(x, y)$ 是由方程 $10 x^2-6 x y+y^2-2 x z-z^2+18=0$ 确定的函数．
（1）求 $z=z(x, y)$ 的极值；
（2）求 $z=z(x, y)$ 在约束条件 $y=x$ 下的极值．
计算积分 $I=\iint_D(x-1)(2 x-y) d x d y$ ，积分区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{(x+1)^2}{2}+\frac{(y-1)^2}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ ．
过点 $A(1,0,0)$ 与 $B(1,1,1)$ 的直线绕 $z$ 轴旋转一周得一旋转曲面，该曲面被 $z=0$ 和 $z=1$ 所截下的部分的外侧记为 $\Sigma$ ．
（I）求旋转曲面 $\Sigma$ 的方程；
（II）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内一阶导函数连续，计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}(x f(x y)-2 x) d y d z+\left(y^2-y f(x y)\right) d z d x+(z+1)^2 d x d y .
$$