单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\iint_{u^2+v^2 \leqslant x^2} \arctan \left(1+\sqrt{u^2+v^2}\right) d u d v(x>0)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{ e ^{-2 x}-1+2 x}=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
已知定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y(x)$ 是微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y y^{\prime}=f(x), \\ y(0)=0\end{array}\right.$ 的解，其中连续函数 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的非负偶函数，曲线 $y(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_x$ ，曲线 $f(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_y$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $V_x=V_y$
$\text{B.}$ $V_x>V_y$
$\text{C.}$ $V_x < V_y$
$\text{D.}$ $V_x, V_y$ 大小不定
二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=f(x)(x \geq 0)$ 连续可导, $f(0)=1$ 。已知曲线 $y=f(x) 、 x$ 轴、 $y$ 轴及过点 $(x, 0)$且垂直于 $x$ 轴的直线所围成的图形的面积与 $y=f(x)$ 在 $[0, x]$ 上的弧长相等, 求 $f(x)$ 。
设 $L$ 为柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 与上半球面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向，则 $\oint_L y d x+2 z d y=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $L$ 为 $x O y$ 平面内不经过原点的正向简单光滑封闭曲线, 讨论积分 $\oint_L \frac{(x-y) d x+(x+4 y) d y}{x^2+4 y^2}$ 的取值情况。
计算二重积分 $\iint_D\left[\frac{x^2-x y+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x-1) y^2\right] d \sigma$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 2 x$, $y \geqslant 0$.
设空间曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}z=x^2+2 y^2, \\ z=6-2 x^2-y^2,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向, 计算曲线积分
$$
I=\oint_L\left(z^2-y\right) d x+\left(x^2-z\right) d y+\left(x-y^2\right) d z .
$$
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2(1-x y) d y d z+(x+1) y d z d x-4 y z^2 d x d y
$$
其中 $\Sigma$ 是弧段 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1}, \\ y=0,\end{array},(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转曲面，$\Sigma$ 上任一点的法向量与$x$轴正夹角大于 $\frac{\pi}{2}$ 。
设区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\},\left[x^2-y\right]$ 表示不超过 $x^2-y$ 的最大整数，计算 $I=\iint_D\left(1-\left[x^2-y\right]\right) \sqrt{\left|x^2-y\right|} d x d y$ ．
计算二重积分 $\iint_D \frac{\left(x^2+|x y|\right)(1+x)}{\sqrt{1-x^2-y^2}} d x d y$ ，其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid\left(x^2+y^2\right)^3 \leqslant x^4+y^4\right\}$
计算二重积分 $\iint_D \frac{r \cos \theta(1+r \sin \theta) e ^{-r(\cos \theta+\sin \theta)}}{\cos \theta+\sin \theta} d \theta d r$ ，其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid r>0,0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right\}$ ．