单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设当 $x>0$ 时, 函数 $f(x)$ 满足方程 $x f^{\prime}(x)-\alpha f(x)=x^a$ ( $\alpha$ 为常数), 且 $f(1)=0$. 若 $f(x)$在 $(0,+\infty)$ 内有最大值 1 , 则常数 $\alpha$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ -e .
$\text{D.}$ e.
设可导函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的解，并且在 $(-\infty, 0]$ 上满足 $f(x)=$ $g(x)$ ．若 $f(1)>1$ ，则 $g(x)$ 可能为 ()
$\text{A.}$ $x$ ．
$\text{B.}$ $x^2$ ．
$\text{C.}$ $x^3$ ．
$\text{D.}$ $x^4$ ．
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解，其中常数 $a < 0, b>0$ ，且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $y=y(x)$ 满足 $\cos ^4 x \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \cos ^2 x\left(1-\frac{1}{2} \sin 2 x\right) \frac{ d y}{d x}+y=\tan x$ ．
（1）用变换 $t=\tan x$ ，将题干微分方程化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程；
（2）若 $x=0$ 是函数的极值点，求函数 $y(x)$ 的表达式．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导, $f(1)=0$, 且满足
$$
\begin{gathered}
x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_1^x f(t) d t=x-1 . \\
\text { 求 } \int_1^2 f(x) d x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x \frac{\sin (t-1)^2}{t-1} d t}{f(x)} .
\end{gathered}
$$
考虑二阶微分方程 $\sin \theta \frac{ d ^2 y}{d \theta^2}+\cos \theta \frac{ d y}{d \theta}+n(n+1) y \sin \theta=0$.
（I ）令 $x=\cos \theta$ ，将上述方程转化为关于 $y, \frac{d y}{d x}$ 以及 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}$ 的二阶微分方程;
（II）设 $u_n(x)=\left(x^2-1\right)^n$ ，其 $n$ 阶导数记为 $p_n(x)$ ，证明 $p_n(x)$ 为第（I) 问中所得方程的一个特解.
设单增光滑曲线 $y=y(x)$ 位于第一象限，当 $x>0$ 时，在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积 $V(x)$ 与该曲边梯形的面积 $S(x)$ 之比为 $\frac{3}{5} \pi y(x)$ ，且曲线 $y=y(x)$ 过点 $(1,1)$, 求曲线 $y=y(x)$ 的方程.
（ I ）求微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y= e ^{3 x}$ 的一个特解 $y=y(x)$ ，使其满足 $y(0)=0$ ，且相应曲线 $y=y(x)$ 在 $(0,0)$ 点处有水平切线；
（II）对于（ I ）中的 $y(x)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(4+2 \tan x)^x-4^x}{y(x)}$ ．