一元函数微分解答题-数学组卷-自助组卷

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一元函数微分解答题

数学

一、解答题（共 31 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f (x, y) = \sqrt[3]{x^{2} y}

, 问

f (x, y)

在

(0, 0)

点
( 1

)

是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?

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2. 函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上有一阶连续导数, 且对任意的

x \in (0, + \infty)

满足

x \int_{0}^{1} f (t x) d t = 2 \int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) + x^{3}

, 且

f (1) = 0

, 求

f (x)

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3. 水平放置着一根长为

L

, 密度为

ρ

的均匀细棒, 在其左端的垂线上与棒相距

b

处有一质量为

m

的质点, 求棒对质点的引力沿

x

轴方向的分力 (设引力常数为

k

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4. 设方程:

{\begin{cases} x = 3 t^{2} + 2 t \\ y = e^{y} \sin t + 1 \end{cases}

, 求

{\frac{d y}{d x} |}_{t = 0}

。

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5. 设函数

y = y (x)

由方程

x^{3} + y^{3} - 3 x + 3 y - 2 = 0

确定, 求函数

y = y (x)

在

x = 1, y = 1

处的一阶导数值、二阶导数值。

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6. 设

y = e^{f (\sin 2 x)}

, 其中

f

具有二阶导数, 求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

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7. 设函数

y = y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = t^{2} + 7 \\ y = t^{2} + 4 t + 1 \end{cases}

所确定, 求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

。

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8. 考察函数

y = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 (x - 1)}

的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

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9. 某产品的需求量

Q

对价格

P

的函数是

Q = 200 - P

, 设成本

C

是

Q

的函数:

C = C (Q)

, 已知平均成本为

\bar{C} (Q) = Q + 4

, 欲使利润最大, 价格应定为多少?

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10. 设

{\begin{cases} x = 1 + t^{2} \\ y = 1 + t^{3} \end{cases}

, 求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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11. 求函数

y = \ln (x^{2} + 1)

的图形的拐点和凹凸区间

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12. 设函数

y = y (x)

由方程

x = \int_{1}^{y + x} e^{- u^{2}} d u

所确定, 求

y (0), y^{'} (0)

和

y^{''} (0)

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13. 设

f (x)

有二阶连续导数, 在

x = 0

的去心邻域内

f (x) \neq 0, lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 0, lim_{x \to 0} {[1 + x + \frac{f (x)}{x}]}^{\frac{1}{x}} = e^{3}

,求

f^{''} (0)

及

lim_{x \to 0} {[1 + \frac{f (x)}{x}]}^{\frac{1}{x}}

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14. 过点

(1, 0)

作抛物线

y = \sqrt{x - 2}

的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及

x

轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕

x

轴旋转一周所得旋转体体积.

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15. 设

f (x) = \sqrt{x - \ln (1 + x)}, x \in [0, + \infty)

, 求

f^{'} (0)

和

f^{''} (0)

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16. 求由曲线

y = 2 x, x y = 2, y = \frac{x^{2}}{4}

所围成平面图形的面积.

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17. 求

y = x^{\sin x} (x > 0)

的导数

y^{'} (x)

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18. 设

y = y (x)

是由方程

e^{- y} - y + \int_{0}^{x} (e^{- t^{2}} + 1) d t = 1

所确定的隐函数.
(1) 证明

y (x)

是单调增加函数;
（2）当

x \to + \infty

时, 曲线

y^{'} (x)

是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.

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19. 设

f (x)

在

x = 0

存在二阶导数，且

lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x^{3}} + \frac{f (x)}{x^{2}}) = 0 .

求

f^{'} (0), f^{''} (0)

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20. 应用三阶泰勒公式求

\sin 18^{\circ}

的近似值, 并估计误差.

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21. 设

f (x) = \frac{x^{5}}{(1 - x) (1 + x)}

, 求

f^{(9)} (0)

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22. 若曲线

y = x^{2} + a x + b

与

2 y = x y^{3} - 1

在点

(1, - 1)

处相切, 求常数

a, b

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23. 设

f (x)

为连续函数, 且满足

f (x) = x^{2} - x \cdot f (2) + 2 \int_{0}^{1} f (x) d x

，求

f (x)

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24. 求函数

y (x) = \frac{x \int_{0}^{\frac{1}{x}} {(e^{t} + \tan t)}^{\frac{1}{(1 + t)} d t}}{\sin \frac{1}{x}}

的斜渐近线方程.

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25.

p^{2} > 4 q, q \neq 0, y = \frac{1}{x^{2} + p x + q}, 求 y^{(n)}

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26. 设函数

f (x) = x \ln (1 - x^{2})

，求

f^{(11)} (0)

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27. 设

f (x) = \tan x \cdot \tan (2 x) \cdot \dots \cdot \tan (2022 x)

, 求

f^{(2024)} (0)

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28. 要制作一个体积为

V

的圆柱形无盖铁桶, 问如何确定其底面半径和高才能用料最省?

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29. 设函数

f

在

(- \infty, + \infty)

上有连续二阶导数, 且满足方程

x f^{'} (x) = f (x) + 140 x^{6} 。

(1) 求

f (x)

的表达式;
(2) 问曲线

y = f (x)

是否有拐点? 请说明理由。
(3) 是否存在函数

f

, 它在开区间

(0, 1)

上大于零, 并满足上面的方程, 且曲线

y = f (x) (x \in [0, 1])

与直线

x = 1

和

y = 0

所围的图形

D

的面积为 2 ? 请说明理由。

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30. 求函数

y = \frac{2 x}{1 + x^{2}}

的极值与拐点.

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31. 设

f (x)

在

[0, 2]

上连续, 在

(0, 2)

可导, 且

2 f (0) = \int_{0}^{2} f (x) d x

。证明:
(1)

\exists η \in (0, 2)

, 使

f (η) = f (0)

;
(2) 对任意实数

λ, \exists ξ \in (0, 2)

, 使

f^{'} (ξ) + λ (f (ξ) - f (0)) = 0

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