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中值定理与函数凸凹性解答题3(7)
数学
一、解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1.
求函数
f
(
x
,
y
)
=
x
3
+
8
y
3
−
x
y
的最大值
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2.
设函数
f
(
x
)
在区间
[
0
,
2
]
上具有连续导数,
f
(
0
)
=
f
(
2
)
=
0
,
M
=
max
x
∈
(
0
,
2
)
{
|
f
(
x
)
|
}
, 证明（1）存在
ξ
∈
(
0
,
2
)
, 使得
|
f
′
(
ξ
)
|
≥
M
（2）若对任意的
x
∈
(
0
,
2
)
,
|
f
′
(
x
)
|
≤
M
, 则
M
=
0
.
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3.
求函数
y
=
2
x
1
+
x
2
的极值与拐点.
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4.
设
y
=
y
(
x
)
是由方程
y
3
+
x
y
+
x
2
−
2
x
+
1
=
0
在点
(
1
,
0
)
的某邻域内确定的可微函数, 求
lim
x
→
1
∫
1
x
y
(
t
)
d
t
(
x
−
1
)
3
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5.
设
y
=
f
(
ln
x
)
e
f
(
x
)
，其中
f
二阶可导，求
d
y
和
y
′
′
(
x
)
.
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6.
设
f
(
x
)
为连续函数, 且满足
f
(
x
)
=
x
2
−
x
⋅
f
(
2
)
+
2
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
, 求
f
(
x
)
.
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7.
证明方程
ln
x
=
x
e
−
2021
在区间
(
0
,
+
∞
)
内只有两个不同的实根.
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