一、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的最大值
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数, $f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in(0,2)}\{|f(x)|\}$, 证明（1）存在 $\xi \in(0,2)$, 使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$
（2）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 则 $M=0$.
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3}
$$
设 $y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\mathrm{d} y$ 和 $y^{\prime \prime}(x)$.
设 $f(x)$ 为连续函数, 且满足 $f(x)=x^2-x \cdot f(2)+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 求 $f(x)$.
证明方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-2021$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内只有两个不同的实根.