中值定理与函数凸凹性单选题(24)-数学组卷-自助组卷

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中值定理与函数凸凹性单选题(24)

数学

一、单选题（共 24 题），每题只有一个选项正确

1.

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} d t}{x^{6}} =

A.

\frac{1}{6}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

1

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2. 设在

[0, 1)

上

f (x)

二阶可导，且

f^{''} (x) > 0

，则

A.

f^{'} (0) < f^{'} (1) < f (1) - f (0)

B.

f^{'} (0) < f (1) - f (0) < f^{'} (1)

C.

f^{'} (1) < f^{'} (0) < f (1) - f (0)

D.

f (1) - f (0) < f^{'} (1) < f^{'} (0)

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3. 设

y = f (x)

是微分方程

y^{''} - 2 y^{'} + 4 y = - e^{\sin x}

的一个解, 若

f (x_{0}) > 0, f^{'} (x_{0}) = 0

, 则函数

f (x)

在点

x_{0}

A.

取得极大值

B.

某邻域内单调增加.

C.

某邻域内单调减少.

D.

取得极小值

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4. 设正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \ln (1 + a_{n})

收敛, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \sqrt{a_{n} a_{n + 1}}

的敛散性为

A.

条件收敛

B.

绝对收敛

C.

发散

D.

无法判断

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5. 设

f (x)

满足微分方程

f^{''} (x) + x f^{'} (x) = \ln (1 + x) - \frac{\arctan x}{x + 1}

, 且

f (x)

有驻点

x = x_{0} > 0

, 则

A.

x_{0}

不是极值点.

B.

x_{0}

是极大值点.

C.

x_{0}

是极小值点.

D.

x_{0}

是否是极值点无法判断.

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6. 函数

y = 3 x^{3} - x

在区间

[0, 1]

上的最小值是:

A.

0

B.

没有

C.

2

D.

- 2 / 9

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7. 设函数

f (x)

的二阶导函数

f^{''} (x)

的图形如右图所示, 则曲线

y =

f (x)

拐点个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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8. “函数

f (x)

在

x_{0}

处可导” 是 “函数

f (x)

在

x_{0}

处连续” 的

A.

充分且必要条件

B.

必要非充分条件

C.

充分非必要条件

D.

既非充分又非必要条件

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9. 曲线

y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 4} + x

的渐近线的条数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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10. 设函数

y (x) = lim_{t \to 0} {[1 - \frac{\ln (1 - t)}{x^{2}}]}^{\frac{x}{lin t}}

, 下列关于曲线

y = y (x)

的渐近线的说法中, 正确的是
(1) 该曲线无渐近线.
(2) 该曲线有铅直渐近线.
(3) 该曲线有水平渐近线.
(4) 该曲线有斜渐近线.

A.

(2).

B.

(3).

C.

(2)(3).

D.

(2)(4).

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11. 当

x \to 0^{+}

时,

(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (e + a x + b x^{2})

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{e}{2}, b = - \frac{11}{24} e

.

B.

a = - \frac{e}{2}, b = \frac{11}{24} e

.

C.

a = e, b = \frac{e}{2}

.

D.

a = e, b = - \frac{e}{2}

.

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12. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

0

C.

-1

D.

-2

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13. 下列直线中不是曲线

y = \sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x})

的渐近线的是

A.

x = - \frac{1}{2}

.

B.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2 + 1

.

C.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2

.

D.

y = - 2 x \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 2 - 1

.

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14. 设曲线

y = f (x)

由

{\begin{cases} x = t | t |, \\ y = t^{2} e^{\frac{1}{3}} \end{cases}

确定, 则该曲线的渐近线的条数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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15. 设曲线

L : y = \ln x

, 则

A.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最小曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

.

B.

L

在

(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\ln 2}{2})

点取得最大曲率半径

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

.

C.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最小曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

D.

L

在

(\frac{e}{2}, 1 - \ln 2)

点取得最大曲率半径

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

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16. 已知

f (x) = (x - 1) (2 x + 1)

, 则在区间

(\frac{1}{2}, 1)

内

f (x)

.

A.

单调增加, 且为凹弧

B.

单调减少, 且为凹弧

C.

单调减少, 且为凸弧

D.

单调增加, 且为凸弧

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17. 函数

y = x \arctan x

在

A.

(- \infty, + \infty)

内处处是凸的

B.

(- \infty, + \infty)

内处处是凹的

C.

(- \infty, 0)

内为凸的,

(0, + \infty)

内为凹的

D.

(- \infty, 0)

内为凹的,

(0, + \infty)

内为凸的

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18. 设函数

p (x)

在区间

[a, b]

上连续,

y (x)

在区间

[a, b]

上具有二阶导数且满足

y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) - y (x) = 0, y (a) = y (b) = 0,

则在

[a, b]

上,

y (x)

A.

有正的最大值,无负的最小值.

B.

有负的最小值,无正的最大值.

C.

既有正的最大值, 又有负的最小值.

D.

既无正的最大值, 又无负的最小值.

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19. 设函数

f (x) = (1 - \cos x) (2 - \cos x) \dots (n - \cos x)

, 则

f^{''} (0) =

A.

(n - 1)

!.

B.

n!

.

C.

(n + 1)

!.

D.

0

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20. 设函数

f (x)

具有 2 阶导数, 且

f (x) > 0, f^{''} (x) f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} > 0

, 则

A.

f^{'} (- 1) f (1) > f^{'} (1) f (- 1)

.

B.

f^{'} (1) f (1) < f^{'} (- 1) f (- 1)

.

C.

f^{2} (0) > f (- 1) f (1)

.

D.

f^{2} (0) < f (- 1) f (1)

.

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21.

y = f (x) = \frac{e^{x} + x \arctan x}{e^{x} + x - 1}

的渐近线条数是

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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22. 设

a > \frac{e^{3}}{4}

, 则方程

a (x + 1)^{2} e^{x} = 1

的实根个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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23. 设函数

f (x)

具有三阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 1}{e^{x^{3}} - 1} = - \frac{1}{2}

, 则

A.

(0, 1)

是曲线

y = f (x)

的拐点.

B.

x = 0

是函数

f (x)

的极大值点.

C.

x = 0

是函数

f (x)

的极小值点.

D.

以上结论都不正确.

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24. 曲线

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, \\ x^{2} + y^{2} = 2 x \end{cases}

在点

(1, 1, \sqrt{2})

处的法平面方程为

A.

\sqrt{2} x - y = 0

.

B.

\sqrt{2} x - z = 0

.

C.

\sqrt{2} x - y = \sqrt{2} - 1

.

D.

\sqrt{2} x - z = \sqrt{2} - 1

.

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