连续性与间断点单选题1-数学组卷-自助组卷

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连续性与间断点单选题1

数学

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 若

lim_{x \to 0} \frac{a x^{2} + b x + 1 - e^{x^{2} - 2 x}}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 5, b = - 2

.

B.

a = - 2, b = 5

C.

a = 2, b = 0

.

D.

a = 4, b = - 4

.

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2. 函数

f (x) = \frac{(x + 1) | x - 1 |}{e^{\frac{1}{x - 2}} \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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3. 设对于任意

α \in (0, \frac{π}{2})

, 方程

x^{\cos^{2} α} = k + x \cos^{2} α (x > 0)

有两个不同的实根, 则

k

的取值范围是

A.

[0, \sin^{2} α)

.

B.

(0, \sin^{2} α)

.

C.

[0, \cos^{2} α)

.

D.

(0, \cos^{2} α)

.

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4. 函数

f (x) = {\begin{cases} 1 + x^{2} & x \leq 0 \\ x - 2 & x > 0 \end{cases}

是

A.

在

(- \infty, + \infty)

单调增加函数

B.

在

(- \infty, + \infty)

单调减少函数

C.

在

(- \infty, 0)

单增

(0, + \infty)

单减函数

D.

在

(- \infty, 0)

单减

(0, + \infty)

单增函数

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5. 如果一个二元函数

f (x, y)

可以写为一个关于

x

的函数

g (x)

乘以一个关于

y

的函数

h (y)

, 也就是

f (x, y) = g (x) h (y)

的形式, 我们把符合这样的情况的函数叫做 “二元函数

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离”, 假定下列的函数中

f (x, y)

具有二阶连续偏导数, 则下列说法中不正确的是 ( )
(1). 若

f (x, y) = x y e^{x + y}

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
(2). 若

f (x, y) = (x + y) e^{x y}

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
(3). 若

f (x, y) > 0

并且

\frac{\partial^{2} (\ln f (x, y))}{\partial x \partial y} = 0

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离
(4.) 若

f (x, y) > 0

并且满足

\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \cdot f (x, y)

, 则

f (x, y)

关于变量

x, y

可分离

A.

(2)

B.

(1)(3)(4)

C.

(2)(4)

D.

(1)(3)

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6. 下列有关定义在

(- \infty, + \infty)

上的可导函数

f (x)

的说法正确的是

A.

若

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

, 并且

\exists x_{0} \in (0, + \infty)

, 使得

f (x_{0}) > A, \exists x_{1} \in (0, + \infty)

并且

x_{0} \neq x_{1}

, 使得

f (x_{1}) < A

, 那么

f (x)

在

(0, + \infty)

内有最大值和最小值。

B.

若

f (x)

是奇函数, 并且

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = A (\neq 0)

, 则

f (x)

的斜渐近线条数一定是偶数。

C.

若

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{x} f (t) d t

并且

f (0) = 1

, 则

f^{''} (0) = 2

D.

令

g (x) = {\begin{cases} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}, x \neq x_{0} \\ f^{'} (x_{0}), x = x_{0} \end{cases}

, 其中

x_{0} \in (- \infty, + \infty)

, 则

g^{'} (x_{0})

存在

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7. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cc} g (x) \cos \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{array}

且

g (0) = g^{'} (0) = 0

, 则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

连续但不可导.

B.

可导但

f^{'} (0) \neq 0

.

C.

极限存在但不连续.

D.

可微且

{d f (x) |}_{x = 0} = 0

.

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8. 设

f (x)

在

x = 0

的邻域内二阶连续可导, 且

f^{'} (0) = 0, lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x) + 2 f^{''} (x)}{x - x^{2}} = 4

, 则下列结论正确的是

A.

x = 0

为

f (x)

的极小值点

B.

x = 0

为

f (x)

的极大值点

C.

(0, f (0))

为

y = f (x)

的拐点

D.

x = 0

既不是

f (x)

的极值点, 也不是

f (x)

的拐点

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9. 设连续函数

g (x)

在

x = 0

点可导, 且

g (0) = 0, g^{'} (0) = 12

, 若

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x^{4}} \int_{\sin x}^{x} g (t) d t, & x \neq 0, \\ g (0), & x = 0, \end{cases}

则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

不连续,

x = 0

是其第二类间断点.

B.

不连续,

x = 0

是其可去间断点.

C.

连续,但不可导.

D.

可导, 且

f^{'} (0) = g^{'} (0)

.

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10. 设

h (x) = {\begin{cases} 0, x ⩽ 0, \\ 1, x > 0, \end{cases}

则偶函数

φ (x) = h (\cos π x - | x |)

有两个间断点

x = \pm x_{0} (x_{0} > 0)

, 且

A.

在

\pm x_{0}

点左连续.

B.

在

\pm x_{0}

点右连续.

C.

在

- x_{0}

点左连续, 在

x_{0}

点右连续.

D.

在

- x_{0}

点右连续, 在

x_{0}

点左连续.

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11. 设

\int_{0}^{\tan x} (e^{a t^{2}} - 1) d t \sim 2 x^{3} + b x (x \to 0)

, 则

A.

a = 6, b = 0

B.

a = 0, b = 6

C.

a = - 6, b = 0

D.

a = 0, b = - 6

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12. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 4}{x^{2} + y^{2}} = - 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (2 h, 0) - f (0, - h)}{h} =

A.

2

B.

3

C.

4

D.

-4

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13. 设曲线

L : y = f (x)

, 其中

f (x)

为连续函数,

f^{'} (x)

的图象如图所示, 则

A.

f (x)

有一个极大值点, 两个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

B.

f (x)

有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

C.

f (x)

有一个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有两个拐点

D.

f (x)

有两个极大值点, 一个极小值点, 曲线

y = f (x)

有一个拐点

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14. 设

f^{'} (x)

在

x = a

处连续, 且

lim_{x \to a} \frac{\sin (x - a)}{f^{'} (x)} = - 1

, 则

A.

x = a

是

f (x)

的极小值点.

B.

x = a

是

f (x)

的极大值点.

C.

(a, f (a))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{'} (x)

在

x = a

的邻域内单调.

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15.

x = 0

是函数

f (x) = \arctan \frac{1}{x}

的

A.

可去间断点

B.

跳跃间断点

C.

连续点

D.

无穷间断点

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16. 函数

f (x)

的定义域为

(a, b)

, 导函数

f^{'} (x)

在

(a, b)

内的图像如图所示, 则函数

f (x)

在

(a, b)

内有极小值点

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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17. 设

f (x)

在

x = 0

处连续, 则

f (x)

在

x = 0

处可导的充分条件是

A.

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{2 x}

存在.

B.

lim_{x \to 0} \frac{f (\ln (1 + x^{2})) - f (0)}{x^{2}}

存在.

C.

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{\sqrt[3]{x}}

存在.

D.

lim_{x \to \infty} x f (\frac{1}{x})

存在.

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18. 函数

f (x) = \frac{1}{x} \ln | 1 + x |

有

A.

两个可去间断点

B.

两个无穷间断点

C.

一个可去间断点和一个跳跃间断点

D.

一个可去间断点和一个无穷间断点

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19. 设函数

f (x)

在

R

上有定义, 且满足

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 1}{x} = - 1

, 则下列正确的是（　　）

A.

f (0) = 1

.

B.

lim_{x \to 0} f (x) = 1

.

C.

f^{'} (0) = - 1

.

D.

f^{'} (0) = 1

.

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20. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} (x - 1) \arctan | x |^{n}

, 则

A.

x = - 1

为

f (x)

的第一类间断点.

B.

x = 1

为

f (x)

的第一类间断点.

C.

x = - 1

为

f (x)

的第二类间断点.

D.

x = 1

为

f (x)

的第二类间断点.

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21. 已知函数

f (x, y) = | x - y | g (x, y)

, 其中

g (x, y)

在点

(0, 0)

的某邻域内有定义, 则

f (x, y)

在点

(0, 0)

处偏导数存在的充分条件是

A.

g (0, 0) = 0

.

B.

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} g (x, y)

存在.

C.

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} g (x, y)

存在且

g (0, 0) = 0

.

D.

g (x, y)

在点

(0, 0)

处连续, 且

g (0, 0) = 0

.

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22. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} - x^{2 - n}}{x^{n + 2} + x^{- n}}, F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

, 则下列结论正确的是

A.

f (x)

仅有 2 个间断点,

F (x)

为连续的偶函数.

B.

f (x)

仅有 2 个间断点,

F (x)

为连续的奇函数.

C.

f (x)

有 3 个间断点,

F (x)

有 3 个不可导点.

D.

f (x)

有 3 个间断点,

F (x)

有 2 个不可导点.

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23. 设

[x]

表示不超过

x

的最大整数,则

x = 0

是函数

f (x) = e^{- \frac{[x]}{x}}

的

A.

跳跃间断点

B.

可去间断点

C.

无穷型间断点

D.

无限振荡型间断点

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24. 函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} + 2}{x^{n} + 1}

的间断点及类型是

A.

x = 1

是第一类间断点,

x = - 1

是第二类间断点

B.

x = 1

是第二类间断点,

x = - 1

是第一类间断点

C.

x = \pm 1

均是第一类间断点

D.

x = \pm 1

均是第二类间断点

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25. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续, 下列命题错误的是

A.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

.

B.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + f (- x)}{x}

存在, 则

f (0) = 0

.

C.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

D.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{x}

存在, 则

f^{'} (0)

存在.

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26. 设函数

f (x) = {\begin{cases} - x^{3} \ln x, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ \arctan (x + \frac{1}{x}) + \frac{π}{2}, & x < 0, \end{cases})

A.

f (x)

有两个极大值点, 无极小值点.

B.

f (x)

有一个极大值点, 一个极小值点.

C.

f (x)

有两个极大值点,一个极小值点.

D.

f (x)

有一个极大值点, 两个极小值点.

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27. 设

f (x)

是严格单调的连续奇函数,

g (x)

是偶函数, 已知数列

{x_{n}}

, 则

A.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} g (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} f (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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28. 函数

f (x) = \frac{| x |^{2 x} - 1}{x (x + 2) \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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29. 设

k

为非零整数, 函数

f (x) = \frac{k x}{k + 1 + e} kx

在

(- \infty, + \infty)

上连续, 且

lim_{x \to - \infty} f (x)

存在, 则

k =

A.

1

B.

-1

C.

2

D.

-2

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30.

lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - \sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x - \ln (1 + \tan x)] (e^{x} - 1)} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

- \frac{1}{2}

D.

- \frac{1}{3}

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31. 关于函数

f (x, y) = {\begin{array}{cl} | x - y |^{a} \frac{\sin x y^{2}}{x^{2} + y^{4}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array}

给出以下结论:
(1) 当

α > 0

时,

f (x, y)

在点

(0, 0)

处连续, 且偏导数存在;
(2) 当

α ⩾ 1

时,

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微;
(3) 当

α > 2

时,

f_{x}^{'} (x, y)

在点

(0, 0)

处连续;
(4) 当

α > 0

时,

f (x, y)

在点

(0, 0)

处沿任意方向的方向导数均存在.
其中正确的个数为

A.

4

B.

3

C.

2

D.

1

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32. 已知

f (x) = \frac{\ln (1 + x^{3})}{x - | \ln (1 + x) |} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x - 1}} + e^{x - 1}}{e^{\frac{1}{x - 1}} - e^{x - 1}}

, 则下列说法正确的是

A.

f (x)

有一个跳跃间断点,一个可去间断点和一个无穷间断点

B.

F_{1} (x) = {\begin{cases} f (x), & x \neq 0 且 x \neq 1, \\ 1, & x = 0 或 x = 1 \end{cases}

在闭区间

[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]

上有界

C.

F_{1} (x) = {\begin{cases} f (x), & x \neq 0 且 x \neq 1, \\ 1, & x = 0 或 x = 1 \end{cases}

在开区间

(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

内不可积

D.

记

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

, 则

F (x)

在开区间

(- 1, \frac{1}{2})

内可导

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33. 设

[x]

表示不超过

x

的最大整数, 则

x = 0

是函数

f (x) = e^{- \frac{[x]}{x}}

的

A.

跳跃间断点

B.

可去间断点

C.

无穷型间断点

D.

无限振荡型间断点

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34. 设

f (x), g (x)

在

[a, b]

上连续, 关于

f (x), g (x)

的定积分有以下命题
(1) 若

f (x) ⩾ 0

且不恒等于 0 , 则

\int_{a}^{b} f (x) d x > 0

(2) 若

f (x) ⩾ 0

, 且

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

, 则

f (x) \equiv 0

(3) 若

f (x) ⩽ g (x)

且存在

x_{0} \in [a, b]

使

f (x_{0}) < g (x_{0})

, 则

\int_{a}^{b} f (x) d x < \int_{a}^{b} g (x) d x

(4) 若

f (x) ⩽ g (x)

且

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} g (x) d x

, 则

f (x) \equiv g (x)

以上命题中正确的个数为 ( ).

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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35. 设函数

f (x) = | x | e^{- | x - 1 |}

, 则

A.

函数

f (x)

有 3 个极值点, 曲线

y = f (x)

有 4 个拐点.

B.

函数

f (x)

有 3 个极值点, 曲线

y = f (x)

有 2 个拐点.

C.

函数

f (x)

有 1 个极值点, 曲线

y = f (x)

有 2 个拐点.

D.

函数

f (x)

有 1 个极值点, 曲线

y = f (x)

有 4 个拐点.

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36. 函数

f (x) = (x^{2} - 4 x) | x 2^{| x |} - x^{3} |

的不可导点的个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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37. 已知

f (x) = max {1, x^{2}}

, 则

\int f (x) d x =

A.

{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + C, x < - 1 \\ x + C, - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, x > 1 \end{cases}

B.

{\begin{matrix} \frac{x^{3}}{3} + C, x < - 1 \\ x + C, - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C, x > 1 \end{matrix}

C.

{\begin{matrix} \frac{x^{3}}{3} + C_{1}, x < - 1 \\ x + C_{2}, - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C_{3}, x > 1 \end{matrix}

D.

{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{4}{3} + C, x < - 1 \\ x + C, - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, x > 1 \end{cases}

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38. 设

f (x)

是严格单调的连续奇函数,

g (x)

是偶函数, 已知数列

{x_{n}}

, 则

A.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

B.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在

C.

当

lim_{n \to \infty} f (g (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} g (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

D.

当

lim_{n \to \infty} g (f (x_{n}))

存在时,

lim_{n \to \infty} f (x_{n})

存在, 但

lim_{n \to \infty} x_{n}

不一定存在

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39. 设

f (x) = 2^{x} + 3^{x} - 2

, 则当

x \to 0

时, 有

A.

f (x)

与

x

是等价无穷小

B.

f (x)

与

x

同阶但非等价无穷小

C.

f (x)

是比

x

高阶的无穷小

D.

f (x)

是比

x

低阶的无穷小

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40. 设

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

则

x = 0

是

f (x)

的

A.

可去间断点

B.

跳跃间断点

C.

第二类间断点

D.

连续点

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他的试卷

定积分计算定积分解答3试卷具体名称填空3试卷具体名称选择填空3试卷具体名称

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