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中值定理与函数凸凹性解答题1

数学

一、解答题（共 40 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 试确定方程

e^{x} = a x^{2} (a > 0)

的实根个数.

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2. 设

f (x), g (x)

在

[a, b]

上连续, 在

(a, b)

内可导, 且

g (a) = g (b) = 1, f^{'} (x) \neq 0

. 试证存在

ξ, η \in (a, b)

, 使得

\frac{f^{'} (ξ)}{f^{'} (η)} = e^{ξ - η} [g (ξ) + g^{'} (ξ)]

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3. 对函数

y = \frac{x + 1}{x^{2}}

填写下表:

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4. 证明当

x > 0

时,

\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) < \sqrt{1 + x^{2}} \arctan x

.

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5. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上可导，满足:

f (a) = f (b) = 0, f_{+}^{'} (a) \cdot f_{-}^{'} (b) > 0 .

证明: 至少存在不同的两点

ξ, η \in [a, b]

，使得

f^{'} (ξ) = f^{'} (η) = 0 .

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6. 设函数

f_{1} (x)

在区间

[a, b]

上可积，

A

是一个给定实数，且

f_{n + 1} (x) = A + \int_{a}^{x} f_{n} (t) d t

，其中

x \in [a, b], n = 1, 2, \dots

.
(1) 证明: 函数列

{f_{n} (x)}

在

[a, b]

上一致收敛.
(2) 记

{f_{n} (x)}

极限函数为

f (x)

，证明:

f (x)

在

[a, b]

可微.

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7. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续单调增加，证明:

\int_{a}^{b} x f (x) d x \geq \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f (x) d x .

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8. 设

f (x, y) = {\begin{array}{rr} (x^{2} + y^{2}) \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, (x, y) = (0, 0) \end{array} .

证明:
(1)

f (x, y)

在

(0, 0)

处连续;
(2)

f (x, y)

在

(0, 0)

处存在偏导数;
(3)

f (x, y)

在

(0, 0)

处的偏导数不连续；
(4)

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微.

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9. 证明: 当

x ⩾ 0

时, 存在

θ (x) \in (0, 1)

, 使得

\frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + θ (x)}} = 2

, 且

θ (x)

满足:
( I )

\frac{1}{4} ⩽ θ (x) < \frac{1}{2};

(II)

lim_{x \to 0^{+}} θ (x) = \frac{1}{4}, lim_{x \to + \infty} θ (x) = \frac{1}{2}

.

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10. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上连续，在开区间

(0, 1)

内可导，且

f (0) = f (1) = 0, f (\frac{1}{2}) = 1 .

证明: 必定存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f^{'} (ξ) = 1

.

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11. 设

D = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < + \infty}

，证明：对任意的

(x, y) \in D

，成立不等式:

y \cdot x^{y} \cdot (1 - x) < \frac{1}{e}

.

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12. 证明: 若

f (x, y)

在区域

D

上分别对每个自变量

x

和

y

都连续，并且对

x

是单调的，则函数

f (x, y)

在区域

D

内为连续函数.

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13. 已知函数

f (x)

在

[a, b] (a > 0)

上连续, 在

(a, b)

内可导, 且

f (a) = 0, f (b) = 1

. 证明:
(I) 存在

c \in (a, b)

, 使得

f (c) = \frac{a}{a + b}

;
(II) 存在两个不同的点

ξ, η \in (a, b)

使得

\frac{a}{f^{'} (ξ)} + \frac{b}{f^{'} (η)} = b^{2} - a^{2}

.

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14. (1) 已知

lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0

.求

a, b

.
(2) 设函数

f (x)

在

[a, + \infty)

上一致连续，设函数

g (x)

在

[a, + \infty)

上连续，且

lim_{x \to + \infty} [f (x) - g (x)] = 0

. 证明: 函数

g (x)

在

[a, + \infty)

上一致连续.
(3) 用 (2) 的结论说明:

f (x) = \frac{1}{x} + \ln (1 + e^{x})

在区间

[1, + \infty)

上一致连续.
(4) 设函数

f (x)

在区间

(- \infty, + \infty)

上可导，且存在常数

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, (a_{1} < a_{2})

，使得

\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a_{1} x + b_{1})] = 0 \\ lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a_{2} x + b_{2})] = 0 \end{aligned}

证明：对任意的

c \in (a_{1}, a_{2})

，存在

ξ \in (- \infty, + \infty)

，使得

f^{'} (ξ) = c .

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15. 试证:

x > \sin x > x - \frac{x^{3}}{6}, (x > 0)

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16. 设

0 < x < \frac{π}{2}

, 证明:
( I ) 函数

f (x) = \frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{\sin x}

单调递增;
( II )

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) > \sin x

.

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17. 设周期函数

f (x) = (- 1)^{[x]} | x - [x + \frac{1}{2}] |

, 其中

[x], [x + \frac{1}{2}]

分别表示不超过

x, x + \frac{1}{2}

的最大整数,记

a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{f (n x)}{x} d x

. 证明:
(I) 数列

{a_{2 n - 1}}

单调减少,

{a_{2 n}}

单调增加;
(II)

lim_{n \to \infty} a_{n}

存在.

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18. 证明：

lim_{h \to 0^{+}} \int \frac{h}{h^{2} + x^{2}} \ln (x^{2} + 2) d x = \frac{π}{2} \ln 2

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19. 若

f (x)

为

[0, 1]

上的单调增加的连续函数, 证明:

\frac{\int_{0}^{1} x f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} x f^{2} (x) d x} \geq \frac{\int_{0}^{1} f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x}

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20. 设函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上有二阶导数，且

f^{(k)} (a) = f^{(k)} (b) = 0, (k = 0, 1) .

证明: 存在

ξ \in (a, b)

，使得

f^{(2)} (ξ) = f (ξ)

.

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21. 证明极限

lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1 + x^{n}} d x = \ln 2

.

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22. 设

0 < x < \frac{π}{2}

, 证明
(I) 函数

f (x) = \frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{\sin x}

单调递增;
(II)

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) > \sin x

.

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23. 设

f (x)

在

[0, 1]

上连续,

\int_{0}^{1} f (x) d x = 0

, 且对任意的

x \in (0, 1)

,

\int_{0}^{x} f (t) d t \neq 0

, 证明在

(0, 1)

内存在一点

ξ

, 使

f (ξ) = \int_{0}^{x} f (t) d t

.

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24. (1) 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，证明:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

(2) 在 (1) 的条件下，若

x = \frac{a + b}{2}

为

f (x)

的对称轴
证明:

\int_{a}^{b} x f (x) d x = \frac{a + b}{2} \int_{a}^{b} f (x) d x

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25. 设

f (x)

在

[0, 1]

上连续，

(0, 1)

内可导，

| f^{'} (x) | \leq 1, f (0) = f (1)

证明:

\forall x_{1}, x_{2} \in [0, 1], | f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq \frac{1}{2}

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26. 对函数

e^{x^{2}}

在

[0, x] (x > 0)

上应用积分中值定理，有

\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t = x e^{θ (x) x^{2}}

其中

θ (x) \in (0, 1)

，计算

lim_{x \to + \infty} θ (x)

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27. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续, 在

(a, b)

内可导且

f^{'} (x) \neq 0

证明:

\exists ξ, η \in (a, b)

，使得

\frac{f^{'} (ξ)}{f^{'} (η)} = \frac{e^{b} - e^{a}}{b - a} e^{- η}

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28. 将函数

\tan x

在点

x = 0

处展为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.

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29. 设曲线段

\hat{A B}

是由函数

y = f (x)

在

x \in [0, 1]

上给出, 其中

A = (0, f (0)), B =

(1, f (1)), f (x)

在

[0, 1]

上连续可微. 证明: 在

\overset{⏜}{A B}

上存在一点

P (ξ, f (ξ)), ξ \in [0, 1]

, 使得

P

点处的切线

L

夹在平行直线

x = 0

和

x = 1

之间的线段长度恰巧等于

\overset{⏜}{A B}

的弧长.

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30. 设函数

f (x)

可微, 曲线

y = f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线方程为

y = x - 1

, 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{t} f (1 + e^{x} - e^{t}) d t}{1 - \sqrt{1 + 3 x^{2}}}

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31. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续, 记

F (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t

.
(1) 证明: 若对

\forall a, b > 0

, 有

f (\frac{a + b}{2}) ⩽ \frac{1}{2} [f (a) + f (b)]

, 则必有

F (\frac{a + b}{2}) ⩽ \frac{1}{2} [F (a) + F (b)]

(2) 反之, 若对

\forall a, b > 0

, 有

F (\frac{a + b}{2}) ⩽ \frac{1}{2} [F (a) + F (b)]

, 是否必有

f (\frac{a + b}{2}) ⩽ \frac{1}{2} [f (a) + f (b)]

请给出你的证明或反例.

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32. 设函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导,

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} < 1

且

\int_{0}^{1} f (x) d x > \frac{1}{2}

. 证明：
(I) 存在

ξ \in (0, + \infty)

, 使得

f (ξ) = ξ

;
(II) 存在与 (I) 中

ξ

相异的点

η \in (0, + \infty)

, 使得

f^{'} (η) = 1

.

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33. 设数列满足条件:

| a_{n + 1} - a_{n} | < r^{n}, n = 1, 2, \dots

, 其中

r \in (0, 1)

.求证

{a_{n}}

收敛.

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34. 对给定的

y

值, 方程

x - α \cdot \sin x = y (0 < α < 1)

有唯一解

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35. 设数列

{x_{n}}

满足:

x_{1} > 0, x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1 (n = 1, 2, \dots)

证明:

{x_{n}}

收敛, 并求

lim_{n \to \infty} x_{n}

.

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36. 若

f (x)

为

[0, 1]

上的单调增加的连续函数, 证明:

\frac{\int_{0}^{1} x f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} x f^{2} (x) d x} \geq \frac{\int_{0}^{1} f^{3} (x) d x}{\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x} .

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37. 证明:

\int_{0}^{1} {(1 + \sin \frac{π}{2} x)}^{n} d x > \frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} (n = 1, 2, \dots)

;
(2) 求极限

lim_{n \to \infty} {[\int_{0}^{1} {(1 + \sin \frac{π}{2} x)}^{n} d x]}^{\frac{1}{n}}

。

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38. 证明方程

x = a \sin x + b

, 其中

a > 0, b > 0

, 至少有一个正根, 并且它不超过

a + b

.

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39. 证明方程

x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

有三个实根.

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40. 证明方程

\sin x + x + 1 = 0

在开区间

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

内至少有一个根.

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