中值定理与函数凸凹性填空题(28)-数学组卷-自助组卷

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中值定理与函数凸凹性填空题(28)

数学

一、填空题（共 28 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 由方程

y = \cos (x y) - x

所确定的隐函数为

y = f (x)

, 求导数

f^{'} (x)

.

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2. 设

a > 0, f (x)

在

[0, 2 a]

上连续, 且

f (0) = f (2 a)

, 试证: 存在

ξ \in [0, a]

, 使

f (ξ) = f (ξ + a)

.

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3.

lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{3}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{t}{\cos θ}} \frac{\sin (r^{2} \sin θ \cos θ)}{\sin θ} d r =

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4. 曲线

{\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \ln \sqrt{1 + t^{2}} \end{cases}

对应于

t = 1

处的法线方程为

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5. 曲线

y = x \sin x + 2 \cos x (- \frac{π}{2} < x < 2 π)

的拐点是

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6. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

, 则

lim_{n \to \infty} n a_{n} =

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7.

y = x \ln (e + \frac{1}{x^{2}})

的斜渐近线为。

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8. 设两曲面

S_{1} : 2 π x^{2} - 2 π y^{2} + 16 z^{2} = π^{2}, S_{2} : z = \arctan \frac{y}{x}

在第一卦限内的点

P

处有公共切平面, 则此切平面的方程为

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9. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

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10. 设

f (x, y)

在

(2, - 2)

处可微，且满足:

f (\sin x y + 2 \cos x, x y - 2 \cos y) = 1 + x^{2} + y^{2} + o (x^{2} + y^{2})

则曲面

z = f (x, y)

过点

(2, - 2, f (2, - 2))

处的切平面方程为

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11. 抛物线

y = x^{2} - x

在点

(1, 0)

处的曲率是:

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12. 设函数

f (x)

在

x = 1

的某一邻域内可微, 且满足

f (1 + x) - 3 f (1 - x) = 4 + 2 x + o (x),

其中

o (x)

是当

x \to 0

时

x

的高阶无穷小, 则曲线

y = f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线方程为

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13. 设连续函数

f (x)

满足

f (x) + 2 x \int_{0}^{x} f (x - t) d t = x (x > 0)

, 且

f (1) = \frac{1}{e}

, 则

f (x)

的极大值点和极大值分别为

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14.

lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{3} + 9} - 6}{2 - \sqrt{x^{3} - 23}} =

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15. 设曲线

y = \ln (1 + a x) + 1

与曲线

y = 2 x y^{3} + b

在

(0, 1)

处相切,则

a + b =

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16. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有二阶连续导数, 证明:

f^{''} (x) \geq 0

的充要条件是: 对不同实数

a

,

b, f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

.

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17. 曲线

y = \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

的渐近线条数为

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18. 曲线

y = (x - 5) x^{\frac{2}{3}}

的拐点坐标为 ________ .

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19. 设函数

f (x) = e^{x} \cos x + e^{- x} \sin x

, 则

f^{(2023)} (0) =

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20. 设函数

y = f (x)

二阶可导, 且满足

y^{'} = (5 - y) y^{a}

, 其中常数

a > 0

, 点

(x_{0}, 3)

为曲线

y = f (x)

的拐点, 则

a =

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21. 求曲线

y - x + e^{y} = 0

在点

x = 1

处的切线方程

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22. 求曲线

y = \frac{1 + x}{1 - e^{- x}}

的渐近线个数

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23. 在区间

[0, 1]

上,

f^{''} (x) > 0

，写出

f^{'} (0), f^{'} (1), f (1) - f (0)

的大小关系

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24. 设函数

y = f (x)

的参数方程为

x = e^{- t} - 1, y = t^{2}

，当

- 1 < x < 0

时，判断

y = f (x)

的单调性和凹凸性

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25. 设函数

y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = \ln (1 + e^{t}), \\ y = - t^{2} + 3 \end{cases}

确定, 则曲线

y = y (x)

在参数

t = 0

对应的点处的曲率

k =

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26. 设函数

y = y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = \frac{3 t}{1 + t^{3}}, \\ y = \frac{3 t^{2}}{1 + t^{3}} \end{cases}

确定, 则曲线

y = y (x)

的斜渐近线方程为

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27. 设

f_{0} (x), f_{1} (x)

是

[0, 1]

上的正值连续函数，满足:

\begin{array}{r} \int_{0}^{1} f_{0} (x) d x \leq \int_{0}^{1} f_{1} (x) d x . \\ 设 f_{n + 1} = \frac{2 f_{n}^{2} (x)}{f_{n} (x) + f_{n - 1} (x)}, (n = 1, 2, \dots) . \end{array}

证明: 序列

a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x, (n = 1, 2, \dots)

单调递增且收敛.

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28. (1)

a_{n + 1} - a_{n} = e^{- a_{n}}, a_{0} = 1

, 证明

a_{n} - \ln n

收敛.
(2) 设

f (x)

为单调递增函数, 且

f^{'} (x)

有界,

f (0) = 0, lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty .

设

F (x) = \int_{0}^{x} f (x) d x

，数列

{a_{n}}

满足:

a_{0} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{f (a_{n})}, b_{n} = F^{- 1} (n) .

证明:

lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = 0

.

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他的试卷

中值定理与函数凸凹性单选题(24) 连续性与间断点解答题2(26) 连续性与间断点解答题连续性与间断点填空题(35) 连续性与间断点单选题2

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