一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, f(1)=0$, 证明: $\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M}{3}$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{\sin x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}=\sqrt{e}$, 求 $f^{\prime \prime}(0)$ 的 值.
讨论方程 $f(x)=1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n \frac{x^n}{n}=0$ ( $n$ 为正整数) 有几个实根.
分析: 对于方程根的存在性问题, 往往需要对其进行分类讨论; 分别是 $x$ 的分类 讨论和 $n$ 的分类讨论.
设 $y=y(x)$ 由 $x^3+3 x^2 y-2 y^3=2$ 确定, 求 $y(x)$ 的极值.
设非负函数 $y(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导且单调减少. 记曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P$ 处的切 线与 $x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为 $P_x, P_y$. 若 $\left|P P_x\right|=2\left|P P_y\right|$, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线 $y=y(x)$ 的方程;
(II) 曲线 $y=y(x)$ 在点 $(2, y(2))$ 处的曲率半径.
求函数 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点和极值.
设 $F(r)=\int_0^{2 \pi} \mathrm{e}^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta, r \in R$. 证明:
$$
F(r) \equiv 2 \pi .
$$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=a, a \in R$. 证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=a$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\} .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(2) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别满足 $x_n=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^n, a_n=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n-1}}, b_n=\prod_{i=1}^n a_i$.
(I) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$;
(II ) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 存在.
求曲线 $x^4+x^2 y-y^3=1$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.
设抛物线 $f(x)=a x^2+b x+c$ 过点 $(0,0)$ 与 $(1,2)$ 且 $a < 0$, 确定 $a, b, c$ 使得抛 物线与 $x$ 轴所围图形面积最小。
设 $b>a>0$, 证明: $\frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
设函数 $f(x)$ 的定义域为全体实数, 并且 $f(x)$ 具有二阶导数, 并且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x)>0$, 在同 一个坐标系下, 曲线 $y=f(x)$ 和直线 $y=x$ 有且只有两个交点 $P_1(a, f(a))$ 和 $P_2(b, f(b))$, 其中 $a < b$ 。
(1) 求证: $f^{\prime}(a) < 1 < f^{\prime}(b)$ 。并且 $\forall x < a$, 一定有 $f(x)>x ; \forall a < x < b$, 一定有 $f(x) < x$ 。
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, 求证: 当 $x_1 < a$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$; 当 $a < x_1 < b$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 。
设 $f(x) \in C[a, b], f(a)=f(b)$ 。证明, 存在数列 $x_n, y_n$ 满足 $x_n < y_n$,
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(y_n-x_n\right)=0 \text {, 且 } f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right) 。
$$
已知函数 $f(x)=\frac{x^3}{(1+x)^2}+3$, 请列表给出: 函数 $f(x)$ 的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数 $f(x)$ 的所有渐近线.
证明: 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)$.
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
讨论方程 $\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}=a$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 内根的个数.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=2$. 证明: 存在两两互异的点 $\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right) f^{\prime}\left(\xi_2\right) \sqrt{1-\xi_3} \geq 2$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$.
(I) 证明: 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=c$;
(II) 证明: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1-f^{\prime}(\xi)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$$
\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x
$$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导且 $f(0)>0$, $f(1)>0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$. 证明:
(1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个零点;
(2) 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+3 f^3(\xi)=0$.
设 $a>1$, 且.
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^a, & x \text { 为有理数 } \\
0, & x \text { 为无理数 }
\end{array} .\right.
$$
讨论 $f(x)$ 的可微性.
证明含参变量积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x
$$
在 $0 \leq \alpha_0 \leq \alpha < +\infty$ 上一致收敛,并问其在 $0 < \alpha < +\infty$ 上是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且满足 $f_{+}^{\prime}(a) < c < f_{-}^{\prime}(b)$, 证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=c$.
设 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内连续可导, 且满足 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=0$, 证明：
( I ) 存在 $\xi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=2 f(\xi) \tan \xi$;
(II) 存在 $\eta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=f(\eta) \tan \eta$.
证明 $f(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $(0,+\infty)$ 上连续
设 $f(x)$ 二阶可导, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f(1)=1$, 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)-2 f^{\prime}(\xi)=-2 \text {. }
$$
假设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，满足 $f(0)=f(1)$ 。证明对任意正整数 $n$ ，存在 $x \in\left[0, \frac{n-1}{n}\right]$ 使得 $f(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)$ 。
假设 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) ， f(0) f^{\prime}(0) \geq 0$ 并且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ 。证明存在 $0 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_n < \cdots$, 使得 $f^{(n)}\left(x_n\right)=0$ 。
假设存在常数 $C$ 使得对任意非负整数 $n$ 都有 $\left|f^{(n)}(x)\right| \leq C^n$ 。证明，对任意 $x_0 \in \mathbb{R} ， f(x)$ 有无穷 Taylor 级数
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k, \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的可导函数, 且满足: $0 < f(x) < 1$, 试证:
(1) 至少存在一点 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=\xi^{2019}$;
（2）至少存在一点 $\eta \in(0,1)$, 使得 $3 f(\eta)+\eta f^{\prime}(\eta)=2022 \eta^{2019}$ 。
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$
设函数 $f(x)$ 是满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x^2, \\ f(0)=a, f^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的特解, 试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$的极小值点.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微, 且 $f(1)=f(-1)=1$, 若平面向量函数
$$
\boldsymbol{F}(x, y)=\frac{-x y^2}{y^4+f(x)} i+\frac{x^2 y}{y^4+f(x)} j
$$
是二元函数 $\Phi(x, y)$ 的梯度.
(I) 求函数 $f(x)$ 及 $\Phi(x, y)$;
( II ) 证明: $\oint_C \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$, 其中 $C$ 是任意一条不通过 $\boldsymbol{F}(x, y)$ 的奇点 (使 $y^{\prime}+f(x)=0$的点) 的正向闭路径.
设 $f(x)$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的实函数, 存在 $M>0$, 使得对任何的 $x, y \in[-1,1]$ 成立 $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$, 若对任何固定的 $x$, 成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{x}{n}\right)=0$,
证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且导数为 0 .
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且下凸, 证明: 对任意的实数 $x$, 都有 $f\left(x+f^{\prime}(x)\right) \geq f(x)$.
设 $f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的 $\xi \in(a, b)$, 使得:
$$
\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$