中值定理与函数凸凹性解答题2-数学组卷-自助组卷

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中值定理与函数凸凹性解答题2

数学

一、解答题（共 40 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f^{''} (x)

在

[0, 2]

上连续且

| f^{''} (x) | \leq M, f (1) = 0

, 证明:

| \int_{0}^{2} f (x) d x | \leq \frac{M}{3}

.

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2. 设

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1, lim_{x \to 0} {(\frac{f (x)}{\sin x})}^{\frac{1}{f (x)}} = \sqrt{e}

, 求

f^{''} (0)

的值.

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3. 讨论方程

f (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{n}}{n} = 0

(

n

为正整数) 有几个实根.
分析: 对于方程根的存在性问题, 往往需要对其进行分类讨论; 分别是

x

的分类讨论和

n

的分类讨论.

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4. 设

y = y (x)

由

x^{3} + 3 x^{2} y - 2 y^{3} = 2

确定, 求

y (x)

的极值.

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5. 设非负函数

y (x)

在

(0, + \infty)

内可导且单调减少. 记曲线

y = y (x)

上任意一点

P

处的切线与

x

轴,

y

轴的交点分别为

P_{x}, P_{y}

. 若

| P P_{x} | = 2 | P P_{y} |

, 且曲线上横坐标为 1 的点处的切线斜率为 -1 , 求:
(I) 曲线

y = y (x)

的方程;
(II) 曲线

y = y (x)

在点

(2, y (2))

处的曲率半径.

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6. 求函数

f (x) = (1 - x) \sqrt{| x |}

在

(- 1, 1)

的极值点和极值.

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7. 设

F (r) = \int_{0}^{2 π} e^{r \cos θ} \cos (r \sin θ) d θ, r \in R

. 证明:

F (r) \equiv 2 π .

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8. 设

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (x)}{x} = a, a \in R

. 证明:

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f^{'} (0) = a

.

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9. 设函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上具有连续导数，且

f (0) = f (2) = 0, M = max_{x \in [0, 2]} {| f (x) |} .

证明: (1) 存在

ξ \in (0, 2)

，使得

| f^{'} (ξ) | \geq M

；
(2) 若对任意的

x \in (0, 2), | f^{'} (x) | \leq M

，则

M = 0

.

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10. 设数列

{x_{n}}, {a_{n}}, {b_{n}}

分别满足

x_{n} = {(1 + \sin \frac{1}{n})}^{n}, a_{n} = \frac{x_{2 n}}{x_{2 n - 1}}, b_{n} = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}

.
(I) 求

lim_{n \to \infty} x_{n}

;
(II ) 证明:

lim_{n \to \infty} b_{n}

存在.

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11. 求曲线

x^{4} + x^{2} y - y^{3} = 1

在点

(1, 1)

处的切线方程.

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12. 已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 证明:
(1) 存在

x_{0} \in (0, 1)

, 使得

f (x_{0}) = 1 - x_{0}

;
(2) 存在两个不同的点

x_{1}, x_{2} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = 1

.

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13. 设抛物线

f (x) = a x^{2} + b x + c

过点

(0, 0)

与

(1, 2)

且

a < 0

, 确定

a, b, c

使得抛物线与

x

轴所围图形面积最小。

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14. 设

b > a > 0

, 证明:

\frac{b - a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}

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15. 设函数

f (x)

的定义域为全体实数, 并且

f (x)

具有二阶导数, 并且

f^{''} (x) > 0, f^{'} (x) > 0

, 在同一个坐标系下, 曲线

y = f (x)

和直线

y = x

有且只有两个交点

P_{1} (a, f (a))

和

P_{2} (b, f (b))

, 其中

a < b

。
(1) 求证:

f^{'} (a) < 1 < f^{'} (b)

。并且

\forall x < a

, 一定有

f (x) > x; \forall a < x < b

, 一定有

f (x) < x

。
(2) 设数列

{x_{n}}

满足

x_{n + 1} = f (x_{n})

, 求证: 当

x_{1} < a

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

; 当

a < x_{1} < b

时,

lim_{n \to \infty} x_{n} = a

。

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16. 设

f (x) \in C [a, b], f (a) = f (b)

。证明, 存在数列

x_{n}, y_{n}

满足

x_{n} < y_{n}

,

lim_{n \to \infty} (y_{n} - x_{n}) = 0, 且 f (x_{n}) = f (y_{n}) 。

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17. 已知函数

f (x) = \frac{x^{3}}{(1 + x)^{2}} + 3

, 请列表给出: 函数

f (x)

的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数

f (x)

的所有渐近线.

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18. 证明: 若函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续, 则在开区间

(a, b)

内至少存在一点

ξ

, 使

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a)

.

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19. 设

a > 0

, 试确定

a

的范围使得曲线

y = a^{x}

与直线

y = x

必相交 (要求说明理由)。

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20. 讨论方程

\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1} = a

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

内根的个数.

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21. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续, 在

(0, 1)

内可导, 且

f (0) = 0, f (1) = 2

. 证明: 存在两两互异的点

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} \in (0, 1)

, 使得

f^{'} (ξ_{1}) f^{'} (ξ_{2}) \sqrt{1 - ξ_{3}} \geq 2

.

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22. 设

f (x)

二阶可导,

f (0) = 0, f (1) = 1, \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2}

.
(I) 证明: 存在

c \in (0, 1)

, 使得

f (c) = c

;
(II) 证明: 存在

ξ \in (0, 1)

, 使得

f^{''} (ξ) = 1 - f^{'} (ξ)

.

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23. 设

f (x)

在

[0, 1]

上有连续的导数且

f (0) = 0

. 求证:

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x ⩽ 4 \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} {| f^{'} (x) |}^{2} d x

并求使上式成为等式的

f (x)

.

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24. 设

f (x)

在

[0, 1]

上可导且

f (0) > 0

,

f (1) > 0, \int_{0}^{1} f (x) d x = 0

. 证明:
(1)

f (x)

在

[0, 1]

上至少有两个零点;
(2) 在

(0, 1)

内至少存在一点

ξ

, 使得

f^{'} (ξ) + 3 f^{3} (ξ) = 0

.

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25. 设

a > 1

, 且.

f (x) = {\begin{cases} x^{a}, & x 为有理数 \\ 0, & x 为无理数 \end{cases} .

讨论

f (x)

的可微性.

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26. 证明含参变量积分

\int_{0}^{+ \infty} e^{- α x^{2}} d x

在

0 \leq α_{0} \leq α < + \infty

上一致收敛,并问其在

0 < α < + \infty

上是否一致收敛.

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27. 设

f (x)

在

[a, b]

上可导, 且满足

f_{+}^{'} (a) < c < f_{-}^{'} (b)

, 证明: 存在

ξ \in (a, b)

, 使得

f^{'} (ξ) = c

.

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28. 设

f (x)

在

[0, \frac{π}{2}]

上连续, 在

(0, \frac{π}{2})

内连续可导, 且满足

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} x \cdot f (x) d x = 0

, 证明：
( I ) 存在

ξ \in (0, \frac{π}{2})

, 使得

f^{'} (ξ) = 2 f (ξ) \tan ξ

;
(II) 存在

η \in (0, \frac{π}{2})

, 使得

f^{'} (η) = f (η) \tan η

.

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29. 证明

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y

在

[0, + \infty)

上不一致收敛，但在

(0, + \infty)

上连续

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30. 设

f (x)

二阶可导,

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

, 且

f (1) = 1

, 证明 : 存在

ξ \in (0, 1)

, 使得

f^{''} (ξ) - 2 f^{'} (ξ) = - 2 .

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31. 假设

f

是

[0, 1]

上的连续函数，满足

f (0) = f (1)

。证明对任意正整数

n

，存在

x \in [0, \frac{n - 1}{n}]

使得

f (x) = f (x + \frac{1}{n})

。

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32. 假设

f \in C^{\infty} (R) ， f (0) f^{'} (0) \geq 0

并且

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

。证明存在

0 \leq x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} < \dots

, 使得

f^{(n)} (x_{n}) = 0

。

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33. 假设存在常数

C

使得对任意非负整数

n

都有

| f^{(n)} (x) | \leq C^{n}

。证明，对任意

x_{0} \in R ， f (x)

有无穷 Taylor 级数

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} {(x - x_{0})}^{k}, \forall x \in R .

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34. 设

f (x)

是区间

[0, 1]

上的可导函数, 且满足:

0 < f (x) < 1

, 试证:
(1) 至少存在一点

ξ \in (0, 1)

, 使得

f (ξ) = ξ^{2019}

;
（2）至少存在一点

η \in (0, 1)

, 使得

3 f (η) + η f^{'} (η) = 2022 η^{2019}

。

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35. 设

f (x), g (x)

在

[a, b]

上二阶可导，且

g^{''} (x) \neq 0, f (a) = f (b) = g (a) = g (b) = 0

,
证明:
(1) 在区间

(a, b)

内

g (x) \neq 0

,
(2)

\exists ξ \in (a, b)

, 使

\frac{f (ξ)}{g (ξ)} = \frac{f^{''} (ξ)}{g^{''} (ξ)}

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36. 设函数

f (x)

是满足初值问题

{\begin{cases} f^{''} (x) + {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2}, \\ f (0) = a, f^{'} (0) = 0 \end{cases}

的特解, 试证明

x = 0

是

y = f (x)

的极小值点.

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37. 已知

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可微, 且

f (1) = f (- 1) = 1

, 若平面向量函数

F (x, y) = \frac{- x y^{2}}{y^{4} + f (x)} i + \frac{x^{2} y}{y^{4} + f (x)} j

是二元函数

Φ (x, y)

的梯度.
(I) 求函数

f (x)

及

Φ (x, y)

;
( II ) 证明:

\oint_{C} F (x, y) \cdot d l = 0

, 其中

C

是任意一条不通过

F (x, y)

的奇点 (使

y^{'} + f (x) = 0

的点) 的正向闭路径.

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38. 设

f (x)

为定义在

[- 1, 1]

上的实函数, 存在

M > 0

, 使得对任何的

x, y \in [- 1, 1]

成立

| f (x) - f (y) | \leq M | x - y |

, 若对任何固定的

x

, 成立

lim_{n \to \infty} n f (\frac{x}{n}) = 0

,
证明:

f (x)

在

x = 0

处可导, 且导数为 0 .

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39. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上可导且下凸, 证明: 对任意的实数

x

, 都有

f (x + f^{'} (x)) \geq f (x)

.

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40. 设

f (x)

是区间

[a, b]

上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的

ξ \in (a, b)

, 使得:

\int_{a}^{ξ} f (x) d x = \int_{ξ}^{b} f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} f (x) d x

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