一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有连续的二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-\sin x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设函数 $f(x), g(x)$ 二阶可导且二阶导函数在 $x=a$ 处连续, 若 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}>0$, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在 $a$ 的某邻域内, $f(x) \geqslant g(x)$.
② 在点 $(a, f(a))$ 处, $y=f(x)$ 的曲率大于 $y=g(x)$ 的曲率.
③ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极大值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极大值点.
④ 若 $x=a$ 为 $f(x)$ 的极小值点, 则 $x=a$ 也为 $g(x)$ 的极小值点.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$.
(2) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$.
(3) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限.
(4) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限.
$\text{A.}$ 0个
$\text{B.}$ 1个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 3个
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续, $f(1)=1$, 且对任意正数 $a, b, \int_{\frac{1}{a+b}}^{\frac{1}{a}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值仅与 $b$ 有关, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $f(x)>0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调函数.
$\text{D.}$ 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为凸曲线.
若 $f(x)=\int_0^{2 x} t \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f^{\prime \prime}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若 $z=z(x, y)$ 可微, 且满足方程 $y \frac{\partial z}{\partial x}+(2 x+1) \frac{\partial z}{\partial y}=0$, 则 $z(x, y)$ 的等值线是
$\text{A.}$ 椭圆曲线族.
$\text{B.}$ 双曲线族.
$\text{C.}$ 拋物线族.
$\text{D.}$ 直线族.
若函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$, 则在下列四项函数性质:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$;
(2) $f^{\prime}(x) < 0$;
(3) $f(x)>0$;
(4) $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ 中
$\text{A.}$ $f$ 仅有第 (1) 项性质.
$\text{B.}$ $f$ 仅有第 (1), (2) 两项性质.
$\text{C.}$ $f$ 仅有第 (1), (2), (3) 三项性质.
$\text{D.}$ $f$ 具有全部四项性质.
已知函数 $f(x)$ 可微, 则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $\int \mathrm{d} f(x) \quad$
$\text{B.}$ $\mathrm{d}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)$
$\text{C.}$ $\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}$
$\text{D.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
设 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(x)+[f(x)]^3=x^2$, 则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
点 $P(1,0,1)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-3 z=0\end{array}\right.$ 的距离 $d=$ （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$.
设函数 $f(x, y)$ 连续, $f(0,0)=0$, 又设 $F(x, y)=|x-y| f(x, y)$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续; 但不可微.
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在.
$\text{C.}$ 偏导数存在, 但不可微.
$\text{D.}$ 可微.
若 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)-x^3-2 y^3}{1-\cos \sqrt{x^2+y^2}}=2$, 则下列结论不正确的是
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)=f_y^{\prime}(0,0)=0$.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值.
函数 $y=\frac{(x+1)^2}{x}$ 的图形有 $n$ 条渐近线, 则 $n=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^2+y^2\right)=\arctan \frac{y}{x}$ 确定, 且满足 $y(1)=0$, 则 $y^{\prime \prime}(1)=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 20
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right) \quad(x>0)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$. 若 $g(1)=1, g(3)=7$, 则 $g(2)$ 的值可能为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导, 那么 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-2 h)}{h}=$
$\text{A.}$ $3 f^{\prime}(a)$
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(a)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} f^{\prime}(a)$