一元函数微分单选题1(19)-数学组卷-自助组卷

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一元函数微分单选题1(19)

数学

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 若

f (x) = {\begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2} - 1}}, & | x | < 1, \\ x^{4} - b x^{2} + c, & | x | ⩾ 1 \end{cases}

是可微函数, 则

b + c =

A.

2

B.

3

C.

4

D.

5

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2. 设

f (x)

在

x = 0

某邻域内有连续的二阶导数, 且

lim_{x \to 0} \frac{x f^{'} (x)}{x - \sin x} = 1

, 则

A.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极大值点.

B.

f^{''} (0) \neq 0, x = 0

是

f (x)

的极小值点.

C.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f^{''} (0) = 0

, 点

(0, f (0))

不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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3. 设函数

f (x), g (x)

二阶可导且二阶导函数在

x = a

处连续, 若

lim_{x \to a} \frac{f (x) - g (x)}{(x - a)^{2}} > 0

, 则下列说法中, 正确的个数是
① 在

a

的某邻域内,

f (x) ⩾ g (x)

.
② 在点

(a, f (a))

处,

y = f (x)

的曲率大于

y = g (x)

的曲率.
③ 若

x = a

为

f (x)

的极大值点, 则

x = a

也为

g (x)

的极大值点.
④ 若

x = a

为

f (x)

的极小值点, 则

x = a

也为

g (x)

的极小值点.

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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4. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

.
(2) 若

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = \infty

, 则

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \infty

.
(3) 若

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限.
(4) 若

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在且有限, 则

lim_{x \to + \infty} f (x)

存在且有限.

A.

0个

B.

1个

C.

2个

D.

3个

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5. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上连续,

f (1) = 1

, 且对任意正数

a, b, \int_{\frac{1}{a + b}}^{\frac{1}{a}} f (x) d x

的值仅与

b

有关, 则下列说法中, 错误的是

A.

f (x) > 0

.

B.

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

.

C.

f (x)

在

(0, + \infty)

上是单调函数.

D.

曲线

y = f (x)

在

(0, + \infty)

上为凸曲线.

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6. 若

f (x) = \int_{0}^{2 x} t \sin (x - t)^{2} d t

, 则

f^{''} (\sqrt{\frac{π}{2}}) =

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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7. 若

z = z (x, y)

可微, 且满足方程

y \frac{\partial z}{\partial x} + (2 x + 1) \frac{\partial z}{\partial y} = 0

, 则

z (x, y)

的等值线是

A.

椭圆曲线族.

B.

双曲线族.

C.

拋物线族.

D.

直线族.

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8. 若函数

f

在

(- \infty, + \infty)

内

f^{''} (x) > 0

, 且

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

, 则在下列四项函数性质:
(1)

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

;
(2)

f^{'} (x) < 0

;
(3)

f (x) > 0

;
(4)

lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty

中

A.

f

仅有第 (1) 项性质.

B.

f

仅有第 (1), (2) 两项性质.

C.

f

仅有第 (1), (2), (3) 三项性质.

D.

f

具有全部四项性质.

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9. 已知函数

f (x)

可微, 则

f (x) =

A.

\int d f (x)

B.

d (\int f (x) d x)

C.

{(\int f (x) d x)}^{'}

D.

\int f^{'} (x) d x

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10. 设

f (x)

满足

f^{'} (0) = 0, f^{'} (x) + [f (x)]^{3} = x^{2}

, 则

A.

f (0)

是

f (x)

的极大值.

B.

f (0)

是

f (x)

的极小值.

C.

(0, f (0))

是曲线

y = f (x)

的拐点.

D.

f (0)

不是

f (x)

的极值,

(0, f (0))

也不是曲线

y = f (x)

的拐点.

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11. 点

P (1, 0, 1)

到直线

{\begin{cases} x - y - z + 1 = 0, \\ x + y - 3 z = 0 \end{cases}

的距离

d =

（　　）

A.

\frac{\sqrt{2}}{3}

.

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

.

C.

\sqrt{2}

.

D.

\sqrt{3}

.

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12. 设函数

f (x, y)

连续,

f (0, 0) = 0

, 又设

F (x, y) = | x - y | f (x, y)

, 则

F (x, y)

在点

(0, 0)

处

A.

连续; 但不可微.

B.

连续, 但偏导数不存在.

C.

偏导数存在, 但不可微.

D.

可微.

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13. 若

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f (x, y) - f (0, 0) - x^{3} - 2 y^{3}}{1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 2

, 则下列结论不正确的是

A.

f (x, y)

在

(0, 0)

点连续.

B.

f_{x}^{'} (0, 0) = f_{y}^{'} (0, 0) = 0

.

C.

f (x, y)

在

(0, 0)

处可微.

D.

f (x, y)

在点

(0, 0)

处取极大值.

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14. 函数

y = \frac{(x + 1)^{2}}{x}

的图形有

n

条渐近线, 则

n =

（　　）

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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15. 设函数

y = y (x)

由方程

\ln (x^{2} + y^{2}) = \arctan \frac{y}{x}

确定, 且满足

y (1) = 0

, 则

y^{''} (1) =

（　　）

A.

0

B.

\frac{1}{2}

.

C.

10

D.

20

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16. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x}) (x > 0)

的渐近线条数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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17. 设函数

f (x)

可导, 且

f^{'} (x) > 0, g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

. 若

g (1) = 1, g (3) = 7

, 则

g (2)

的值可能为

A.

2

B.

3

C.

4

D.

5

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18. 已知曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x + 2 y + z - 1 = 0

, 则点

P

的坐标是

A.

(1, - 1, 2)

B.

(- 1, 1, 2)

C.

(1, 1, 2)

D.

(- 1, - 1, 2)

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19. 设

f (x)

在点

x = a

处可导, 那么

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a - 2 h)}{h} =

A.

3 f^{'} (a)

B.

2 f^{'} (a)

C.

f^{'} (a)

D.

\frac{1}{3} f^{'} (a)

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