一、填空题 （共 39 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $D$ 是由曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为 $\rho(x, y)=3 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}$ ，则该零件的质量为
设 $f(x)=x e^x$, 求 $f^{(n)}(x), n \geq 1$;
求函数 $\arccos x$ 的Maclaurin展开式（到4阶）。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=t+\sin t$ 及 $y=\arctan t-y^3(t>0)$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x}$;
设 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
设函数 $f(x)$ 连续, $F(t)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^{\frac{1}{x}} x^3 u f(x u) \mathrm{d} u$, 则 $F^{\prime}(t)=$
$f(x)=x^{\sin x}+(\cos x)^x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}, \quad|x| < 1$
$f(x)=x \arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)$
$f(x)=x+2 x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
设 $y=\ln \left(x^2+e^{3 x}\right)$, 则 $d y=$
位于曲线 $y=\frac{e^x}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积为
设某商品的需求函数为 $Q=100-2 p^2$, 则当 $p=5$ 时的边际需求为
设 $f(x y)=x^2+2 y^2$, 求其在 $(0,1)$ 处的最大方向导数
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}$ 满足条件 $y(1)=3$ 的解, 求 $y(x)$ 的渐进线.
若 $f(x)$ 可导, $y=f\left(e^x\right)$, 则 $d y=$
函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
曲线 $y=x^2-1$ 在其顶点处的曲率 $K$ 是
设函数 $f(x, y)$ 可微. 若已知 $f$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}_1=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}$ 和 $\boldsymbol{l}_2=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}$ 的方向导数分别为 $\frac{\partial f(P)}{\partial \boldsymbol{l}_1}=m_1$ 和 $\frac{\partial f(P)}{\partial \boldsymbol{l}_2}=m_2$, 且 $m_1^2+m_2^2 \neq 0$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P$ 处变化最快的方向是
设 $y=\mathrm{e}^{\sqrt{\cos x}}$, 则 $\mathrm{d} y=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^{1-t} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u \\ y=t^2 \ln \left(2-t^2\right)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为
设 $y=\sin ^2x$, 则 $y^{(8)}(0)=$ ________ .
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为
已知可微函数 $f(x, y)$ 满足 $f(t x, t y)=t f(x, y), t>0$, 且 $f_1(1,-2)=4$, 则曲面 $z=$ $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,-2,2)$ 处的切平面方程为
已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{(1-x)^4}$, 则 $f^{(5)}(0)=$
设 $n \geqslant 1$ 为自然数, $f(x)=\left(x^3-1\right)^n(\arctan x)^2$, 则 $f^{(n)}(1)=$
设曲面 $\Sigma: x^2-x y z+\mathrm{e}^{x+z}=1$ 上点 $(0,1,0)$ 处的法向量 $n$ 指向下方, 则函数 $f(x, y, z)$ $=x^2+2 y^2+3 z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿着 $n$ 的方向导数为
设有一底面半径为 $r$, 高为 $h$ 的圆椎型容器, 该容器将圆椎顶点朝下放置. 从装满水的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_1$, 从初始液面高度为 $\frac{h}{3}$ 的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_2$, 则 $\frac{W_1}{W_2}=$
设 $n \geqslant 1$ 为自然数, $f(x)=\left(x^3-1\right)^n(\arctan x)^2$, 则 $f^{(n)}(1)=$
求 $f(x)=\left|x e^{-x}\right|$ 的导数
已知 $f(x)$ 可导， $y=f\left(e^{x^2}\right)$ ，求 $d y$
设 $y$ 是由方程 $y^3(x+y)=x^3$ 所确定的隐函数，计算 $\int \frac{1}{y^2} d x$
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 围成的锥体, 若其体密度为 $\rho=1$, 则 $\Omega$ 对 $z$ 轴的转动惯量 $I_z=$
曲线 $y=\sqrt{\frac{x^3}{2+x}} \cos (2 \arctan x)$ 的斜渐近线方程为
设某商品的需求函数 $Q=Q(p)$, 需求弹性 $\eta=\frac{p}{60-p}(\eta>0), p$ 为单价 (万元), 则当 $p=10$万元时, 商品的总收益对白身价格的弹性 $\eta_1$ 为
确定常数 $b$, 使得直线 $y=9 x+b$ 为曲线 $y=x^3-3 x$ 的切线;
求函数 $f(x)=(x+1) \ln (x+1)$ 的单调区间和极值;
已知 $f^{\prime}(1)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow} \frac{f(1+3 x)-f(1+x)}{x}=$
由 $e^{x y}+y \ln x=\cos 2 x$ 确定函数 $y(x)$, 则导函数 $y^{\prime}=$