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一元函数微分填空题

数学

一、填空题（共 39 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

D

是由曲线

\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1

及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为

ρ (x, y) = 3 \sqrt{x} + 2 \sqrt{y}

，则该零件的质量为

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2. 设

f (x) = x e^{x}

, 求

f^{(n)} (x), n \geq 1

;

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3. 求函数

\arccos x

的Maclaurin展开式（到4阶）。

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4. 设函数

y = y (x)

由方程

x = t + \sin t

及

y = \arctan t - y^{3} (t > 0)

所确定, 求

\frac{d y}{d x}

;

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5. 设

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}

, 则

f^{(n)} (0) =

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6. 设函数

f (x)

连续,

F (t) = \int_{0}^{1} d x \int_{1}^{\frac{1}{x}} x^{3} u f (x u) d u

, 则

F^{'} (t) =

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7.

f (x) = x^{\sin x} + (\cos x)^{x}, x \in (0, \frac{π}{2})

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8.

f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}, | x | < 1

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9.

f (x) = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2})

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10.

f (x) = x + 2 x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0

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11. 设

y = \ln (x^{2} + e^{3 x})

, 则

d y =

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12. 位于曲线

y = \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} (x \geq 0)

下方、

x

轴上方的无界图形的面积为

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13. 设某商品的需求函数为

Q = 100 - 2 p^{2}

, 则当

p = 5

时的边际需求为

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14. 设

f (x y) = x^{2} + 2 y^{2}

, 求其在

(0, 1)

处的最大方向导数

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15. 设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x}

满足条件

y (1) = 3

的解, 求

y (x)

的渐进线.

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16. 若

f (x)

可导,

y = f (e^{x})

, 则

d y =

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17. 函数

f (x) = \frac{1}{1 - x}

, 则

f^{(n)} (0) =

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18. 曲线

y = x^{2} - 1

在其顶点处的曲率

K

是

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19. 设函数

f (x, y)

可微. 若已知

f

在点

P (x_{0}, y_{0})

处沿

l_{1} = i - j

和

l_{2} = i + j

的方向导数分别为

\frac{\partial f (P)}{\partial l_{1}} = m_{1}

和

\frac{\partial f (P)}{\partial l_{2}} = m_{2}

, 且

m_{1}^{2} + m_{2}^{2} \neq 0

, 则

f (x, y)

在点

P

处变化最快的方向是

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20. 设

y = e^{\sqrt{\cos x}}

, 则

d y =

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21. 曲线

{\begin{cases} x = \int_{0}^{1 - t} e^{- u^{2}} d u \\ y = t^{2} \ln (2 - t^{2}) \end{cases}

在点

(0, 0)

处的切线方程为

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22. 设

y = \sin^{2} x

, 则

y^{(8)} (0) =

________ .

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23. 曲线

y = x \ln (e + \frac{1}{x}) (x > 0)

的渐近线方程为

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24. 已知可微函数

f (x, y)

满足

f (t x, t y) = t f (x, y), t > 0

, 且

f_{1} (1, - 2) = 4

, 则曲面

z =

f (x, y)

在点

P_{0} (1, - 2, 2)

处的切平面方程为

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25. 已知函数

f (x) = \frac{x + 2}{(1 - x)^{4}}

, 则

f^{(5)} (0) =

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26. 设

n ⩾ 1

为自然数,

f (x) = {(x^{3} - 1)}^{n} (\arctan x)^{2}

, 则

f^{(n)} (1) =

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27. 设曲面

Σ : x^{2} - x y z + e^{x + z} = 1

上点

(0, 1, 0)

处的法向量

n

指向下方, 则函数

f (x, y, z)

= x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}

在点

(1, 1, 1)

处沿着

n

的方向导数为

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28. 设有一底面半径为

r

, 高为

h

的圆椎型容器, 该容器将圆椎顶点朝下放置. 从装满水的容器中将水全部抽出需克服重力做功

W_{1}

, 从初始液面高度为

\frac{h}{3}

的容器中将水全部抽出需克服重力做功

W_{2}

, 则

\frac{W_{1}}{W_{2}} =

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29. 设

n ⩾ 1

为自然数,

f (x) = {(x^{3} - 1)}^{n} (\arctan x)^{2}

, 则

f^{(n)} (1) =

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30. 求

f (x) = | x e^{- x} |

的导数

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31. 已知

f (x)

可导，

y = f (e^{x^{2}})

，求

d y

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32. 设

y

是由方程

y^{3} (x + y) = x^{3}

所确定的隐函数，计算

\int \frac{1}{y^{2}} d x

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33. 设

Ω

是由锥面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与平面

z = 1

围成的锥体, 若其体密度为

ρ = 1

, 则

Ω

对

z

轴的转动惯量

I_{z} =

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34. 曲线

y = \sqrt{\frac{x^{3}}{2 + x}} \cos (2 \arctan x)

的斜渐近线方程为

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35. 设某商品的需求函数

Q = Q (p)

, 需求弹性

η = \frac{p}{60 - p} (η > 0), p

为单价 (万元), 则当

p = 10

万元时, 商品的总收益对白身价格的弹性

η_{1}

为

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36. 确定常数

b

, 使得直线

y = 9 x + b

为曲线

y = x^{3} - 3 x

的切线;

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37. 求函数

f (x) = (x + 1) \ln (x + 1)

的单调区间和极值;

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38. 已知

f^{'} (1) = 2

, 则

lim_{x \to} \frac{f (1 + 3 x) - f (1 + x)}{x} =

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39. 由

e^{x y} + y \ln x = \cos 2 x

确定函数

y (x)

, 则导函数

y^{'} =

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他的试卷

一元函数微分单选题1(19) 中值定理与函数凸凹性解答题3(7) 中值定理与函数凸凹性解答题2 中值定理与函数凸凹性解答题1 中值定理与函数凸凹性填空题(28)

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