一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$; 及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$, 则( )
$\text{A.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$.
$\text{B.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$.
$\text{C.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$.
$\text{D.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\} ， f(x)$为 $D$ 上的正值连续函数， $a, b$ 为常数，则
$$
\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \mathrm{d} \sigma=
$$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b}{2} \pi$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则
$$
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \text { 等于 }
$$
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y$等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y$等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{n}{(n+i)\left(n^2+j^2\right)}=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \frac{1}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+y)} d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 \frac{1}{(1+x)\left(1+y^2\right)} \mathrm{d} y$
设函数 $f(t)$ 连续, 则二次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{2 \cos \theta}^2 f\left(r^2\right) r \mathrm{~d} r=$
$\text{A.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_{1+\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x$
二、填空题 （共 12 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设区域 $D$ 为 $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$, 则 $\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
交换积分次序 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$
换二次积分的积分次序:
$$
\int_{-1}^0 \mathrm{~d} y \int_2^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
交换积分次序:
$$
\int_0^{\frac{1}{4}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\frac{1}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
设 $a>0 ， f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text { 其他， }\end{array} \quad D\right.$ 表示全平面，则 $I=\iint_D f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ ，则 $\iint_D\left(x^2-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_0^1 x^y \ln x \mathrm{~d} y=$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
已知曲线 $L$ 的方程为 $y=1-|x|(x \in[-1,1])$ ，起点是 $(-1,0)$ ，终点是 $(1,0)$ ，则曲线积分
$$
\int_L x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y=
$$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2 \leq z \leq 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的坚坐标 $\bar{z}=$
设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$ ，圆 $x^2+y^2=2 y$ 及 $y$ 轴围成，则二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma=$
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^2 \mathrm{~d} S=$
三、解答题 （ 共 31 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设曲线积分 $\int_{C} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数, 且 $\varphi(0)=0$. 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 的值.
计算三重积分 $\iint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域.
计算二重积分 $\iint_D x^2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ 及直线 $y=0, y=1$ 所围成的平面区域.
计算二重积分 $\iint_D(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq x+y+1\right\}
$$
计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \min \{x, y\} e^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且满足方程 $f(t)=e^{4 \pi t^2}+\iint_{x^2+y^2 \leq 4 t^2}\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 求 $f(t)$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq x\right\}$ ，求 $\iint_D \sqrt{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in S ， \pi$ 为 $S$ 在点 $P$ 处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离，求 $\iint_S \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}$.
计算二重积分 $\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2$, $y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}x^2 y, 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq x \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq 2 x\right\}$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4 a^2-x^2-y^2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=-a+\sqrt{a^2-x^2}(a>0)$ 和直线 $y=-x$ 围成区域.
求二重积分 $I=\iint_D y\left[1+x e^{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 围成的平面区域.
计算二重积分 $\iint_D e^{\max \left\{x^2, y^2\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$
设闭区域 $D: x^2+y^2 \leq y, x \geq 0 . f(x, y)$ 为 $D$ 上的连
续函数。
$$
f(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{8}{\pi} \iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$
求 $f(x, y)$.
设函数 $f(x)$ 连续且恒大于零，
$$
\begin{aligned}
F(t) & =\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} v}{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma} \\
G(t) & =\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^t f\left(x^2\right) \mathrm{d} x}
\end{aligned}
$$
其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}$,
$$
D(t)=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\}
$$
（1）讨论 $F(t)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的单调性.
（2）证明当 $t>0$ 时， $F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$.
计算二重积分 $I=\iint_D e^{-\left(x^2+y^2-\pi\right)} \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \pi\right\}$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ， $\left[1+x^2+y^2\right]$ 表示不超过 $1+x^2+y^2$ 的最大整数. 计算二重积分 $\iint_D x y\left[1+x^2+y^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x y}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.