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试卷53

数学

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设有空间区域

Ω_{1} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩽ R^{2}, z ⩾ 0

; 及

Ω_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩽ R^{2}, x ⩾ 0, y ⩾ 0, z ⩾ 0

, 则( )

A.

∭_{Ω_{1}} x d v = 4 ∭_{Ω_{2}} x d v

.

B.

∭_{Ω_{1}} y d v = 4 ∭_{Ω_{2}} y d v

.

C.

∭_{Ω_{1}} z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} z d v

.

D.

∭_{Ω_{1}} x y z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} x y z d v

.

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2. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0} ， f (x)

为

D

上的正值连续函数，

a, b

为常数，则

\iint_{D} \frac{a \sqrt{f (x)} + b \sqrt{f (y)}}{\sqrt{f (x)} + \sqrt{f (y)}} d σ =

A.

a b π

B.

\frac{a b}{2} π

C.

(a + b) π

D.

\frac{a + b}{2} π

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3. 设

f (x, y)

为连续函数，则

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{1} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r 等于

A.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_{x}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{y}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

D.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

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4. 设函数

f (x, y)

连续，则二次积分

\int_{\frac{π}{2}}^{π} d x \int_{\sin x}^{1} f (x, y) d y

等于

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{π + \arcsin y}^{π} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{π - \arcsin y}^{π} f (x, y) d x

C.

\int_{0}^{1} d y \int_{\frac{π}{2}}^{π + \arcsin y} f (x, y) d x

D.

\int_{0}^{1} d y \int_{\frac{π}{2}}^{π - \arcsin y} f (x, y) d x

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5. 设函数

f (x, y)

连续，则二次积分

\int_{\frac{π}{2}}^{π} d x \int_{\sin x}^{1} f (x, y) d y

等于

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{π + \arcsin y}^{π} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{π - \arcsin y}^{π} f (x, y) d x

C.

\int_{0}^{1} d y \int_{\frac{π}{2}}^{π + \arcsin y} f (x, y) d x

D.

\int_{0}^{1} d y \int_{\frac{π}{2}}^{π - \arcsin y} f (x, y) d x

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6. 设函数

f (x, y)

连续，则

\int_{1}^{2} d x \int_{x}^{2} f (x, y) d y + \int_{1}^{2} d y \int_{y}^{4 - y} f (x, y) d x =

A.

\int_{1}^{2} d x \int_{1}^{4 - x} f (x, y) d y

B.

\int_{1}^{2} d x \int_{x}^{4 - x} f (x, y) d y

C.

\int_{1}^{2} d y \int_{1}^{4 - y} f (x, y) d x

D.

\int_{1}^{2} d y \int_{y}^{2} f (x, y) d x

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7.

lim_{x \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(n + i) (n^{2} + j^{2})} =

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

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8.

lim_{x \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(n + i) (n^{2} + j^{2})} =

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

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9. 设函数

f (t)

连续, 则二次积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{2 \cos θ}^{2} f (r^{2}) r d r =

A.

\int_{0}^{2} d x \int_{\sqrt{2 x - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d y

B.

\int_{0}^{2} d x \int_{\sqrt{2 x - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}} f (x^{2} + y^{2}) d y

C.

\int_{0}^{2} d y \int_{1 + \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} f (x^{2} + y^{2}) d x

D.

\int_{0}^{2} d y \int_{1 + \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}} f (x^{2} + y^{2}) d x

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二、填空题（共 12 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 设区域

D

为

x^{2} + y^{2} ⩽ R^{2}

, 则

\iint_{D} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}) d x d y =

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11. 交换积分次序

\int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2 - y^{2}}} f (x, y) d x =

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12. 换二次积分的积分次序:

\int_{- 1}^{0} d y \int_{2}^{1 - y} f (x, y) d x =

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13. 交换积分次序:

\int_{0}^{\frac{1}{4}} d y \int_{y}^{\sqrt{y}} f (x, y) d x + \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{y}^{\frac{1}{2}} f (x, y) d x =

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14. 设

a > 0 ， f (x) = g (x) = {\begin{array}{cc} a, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & 其他， \end{array} D

表示全平面，则

I = \iint_{D} f (x) g (y - x) d x d y =

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15. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

，则

\iint_{D} (x^{2} - y) d x d y =

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16.

\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{1} x^{y} \ln x d y =

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17. 设

Ω = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1}

，则

∭_{Ω} z^{2} d x d y d z =

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18. 已知曲线

L

的方程为

y = 1 - | x | (x \in [- 1, 1])

，起点是

(- 1, 0)

，终点是

(1, 0)

，则曲线积分

\int_{L} x y d x + x^{2} d y =

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19. 设

Ω = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1}

，则

Ω

的形心的坚坐标

\bar{z} =

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20. 设平面区域

D

由直线

y = x

，圆

x^{2} + y^{2} = 2 y

及

y

轴围成，则二重积分

\iint_{D} x y d σ =

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21. 设

Σ = {(x, y, z) ∣ x + y + z = 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0}

，则

\iint_{Σ} y^{2} d S =

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 设曲线积分

\int_{C} x y^{2} d x + y φ (x) d y

与路径无关, 其中

φ (x)

具有连续的导数, 且

φ (0) = 0

. 计算

\int_{(0, 0)}^{(1, 1)} x y^{2} d x + y φ (x) d y

的值.

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23. 计算三重积分

\iint_{Ω} (x + z) d v

, 其中

Ω

是由曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与

z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

所围成的区域.

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24. 计算二重积分

\iint_{D} x^{2} y d x d y

，其中

D

是由双曲线

x^{2} - y^{2} = 1

及直线

y = 0, y = 1

所围成的平面区域.

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25. 计算二重积分

\iint_{D} (x + y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq x + y + 1}

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26. 计算

\int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} min {x, y} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y

.

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27. 设函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上连续，且满足方程

f (t) = e^{4 π t^{2}} + \iint_{x^{2} + y^{2} \leq 4 t^{2}} (\frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y

. 求

f (t)

.

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28. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq x}

，求

\iint_{D} \sqrt{x} d x d y

.

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29. 设

S

为椭球面

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + z^{2} = 1

的上半部分，点

P (x, y, z) \in S ， π

为

S

在点

P

处的切平面，

ρ (x, y, z)

为点

O (0, 0, 0)

到平面

π

的距离，求

\iint_{S} \frac{z d S}{ρ (x, y, z)}

.

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30. 计算二重积分

\iint_{D} y d x d y

，其中

D

是由直线

x = - 2

,

y = 0, y = 2

以及曲线

x = - \sqrt{2 y - y^{2}}

所围成的平面区域.

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31. 设

f (x, y) = {\begin{array}{lc} x^{2} y, 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x \\ 0, & 其他 \end{array}

，求

\iint_{D} f (x, y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \geq 2 x}

.

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32. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2} - y^{2}}} d σ

，其中

D

是由曲线

y = - a + \sqrt{a^{2} - x^{2}} (a > 0)

和直线

y = - x

围成区域.

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33. 求二重积分

I = \iint_{D} y [1 + x e^{\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})}] d x d y

的值, 其中

D

是由直线

y = x, y = - 1

及

x = 1

围成的平面区域.

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34. 计算二重积分

\iint_{D} e^{max {x^{2}, y^{2}}} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

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35. 设闭区域

D : x^{2} + y^{2} \leq y, x \geq 0 . f (x, y)

为

D

上的连
续函数。

f (x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \frac{8}{π} \iint_{D} f (u, v) d u d v .

求

f (x, y)

.

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36. 设函数

f (x)

连续且恒大于零，

\begin{aligned} F (t) & = \frac{∭_{Ω (t)} f (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v}{\iint_{D (t)} f (x^{2} + y^{2}) d σ} \\ G (t) & = \frac{\iint_{D (t)} f (x^{2} + y^{2}) d σ}{\int_{- t}^{t} f (x^{2}) d x} \end{aligned}

其中

Ω (t) = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq t^{2}}

,

D (t) = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq t^{2}}

（1）讨论

F (t)

在区间

(0, + \infty)

内的单调性.
（2）证明当

t > 0

时，

F (t) > \frac{2}{π} G (t)

.

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37. 计算二重积分

I = \iint_{D} e^{- (x^{2} + y^{2} - π)} \sin (x^{2} + y^{2}) d x d y

.其中积分区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq π}

.

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38. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0}

，

[1 + x^{2} + y^{2}]

表示不超过

1 + x^{2} + y^{2}

的最大整数. 计算二重积分

\iint_{D} x y [1 + x^{2} + y^{2}] d x d y

.

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39. 计算二重积分

\iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 1 | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

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40. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0}

，计算二重积分

I = \iint_{D} \frac{1 + x y}{1 + x^{2} + y^{2}} d x d y

.

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