一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，记$F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t, 0 \leq x \leq 2$, 则
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^3}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{3}+2 x-\frac{x^2}{2}, & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ -\frac{7}{6}+2 x-\frac{x^2}{2}, 1 < x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cr}\frac{x^3}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+2 x-\frac{x^2}{2}, 1 < x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^3}{3}, \quad 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x-\frac{x^2}{2}, 1 < x \leq 2\end{array}\right.$
设 $f(x)$ 连续， $F(x)=\int_0^{x^2} f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $f\left(x^4\right)$
$\text{B.}$ $x^2 f\left(x^4\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^4\right)$
$\text{D.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
若 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 有一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$ ，设
$$
F(x)=\int_1^x f(t) \mathrm{d} t(0 \leq x \leq 2) ，
$$
则 $f(x)$ 为
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{3}, 0 \leq x < 1 \\ x, 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3} x^3, 0 \leq x < 1 \\ x-1,1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{3} & 0 \leq x < 1 \\ x-1 & 1 \leq x \leq 2\end{cases}$
设 $f(x)$ 为连续函数，且 $F(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{x} f(\ln x)+\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{B.}$ $f(\ln x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{x} f(\ln x)-\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{D.}$ $f(\ln x)-f\left(\frac{1}{x}\right)$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x$ ，
$$
\begin{aligned}
& N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, \\
& P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ $N < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < N$
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} e^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
设 $f(x), \varphi(x)$ 在点 $x=0$ 的某邻域内连续，且当 $x \rightarrow 0$时， $f(x)$ 是 $\varphi(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t$ 是 $\int_0^x t \varphi(t) \mathrm{d} t$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数 则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
使不等式 $\int_1^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t>\ln x$ 成立的 $x$ 的范围是
$\text{A.}$ $(0,1)$
$\text{B.}$ $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$
$\text{D.}$ $(\pi,+\infty)$
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x \mathrm{~d} x ， J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x \mathrm{~d} x$ ，$K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x \mathrm{~d} x ， J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x \mathrm{~d} x$ ，$K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
质点以速度 $t \sin \left(t^2\right)$ 米秒作直线运动，则从时刻 $t_1=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$到 $t_2=\sqrt{\pi}$ 秒内质点所经过的路程等于米.
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^{\cos 3 x} f(t) \mathrm{d} t\right]=$
$\int_{-2}^2 \frac{x+|x|}{2+x^2} \mathrm{~d} x=$
设 $\int x f(x) \mathrm{d} x=\arcsin x+c$ ，则 $\int \frac{\mathrm{d} x}{f(x)}=$
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
设 $f(x)$ 有一个原函数 $\frac{\sin x}{x}$ ，则 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0, & x \leq 0\end{array}, \lambda>0\right.$ ，则
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=
$$
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{1+n^2}+\frac{1}{2^2+n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)=$
由曲线 $y=\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 并设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=A$, 求 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x) f(y) \mathrm{d} y$.
计算
$$
I=\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_2^4 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y .
$$
计算 $\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} \mathrm{~d} x$.
求不定积分 $\int \frac{x \cos ^4 \frac{x}{2}}{\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$.
计算 $ I=\int_3^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^4 \sqrt{x^2-2 x}} $
计算 $\int_1^4 \frac{\mathrm{d} x}{x(1+\sqrt{x})}$
求 $\int x \sin ^2 x \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足
$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x .
$$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，计算 $I=\int_\pi^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
求不定积分 $I=\int \frac{x^2}{1+x^2} \arctan x \mathrm{~d} x$.
求定积分 $I=\int_{-1}^1(2 x+|x|+1)^2 \mathrm{~d} x$.
计算 $I=\int \frac{\operatorname{arccot} e^x}{e^x} \mathrm{~d} x$.
求 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$.
设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上连续， $g(x)$ 为偶函数，且 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=A$ ( $A$ 为常数).
(1) 证明: $\int_{-a}^a f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_0^a g(x) \mathrm{d} x$ ；
(2) 利用(1)的结论计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan e^x \mathrm{~d} x$.
一容器的内侧是由曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，其中曲线 $C$ 由 $x^2+y^2=2 y\left(y \geq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x^2+y^2=1\left(y \leq \frac{1}{2}\right)$连接而成的.
(1) 求容器的容积；
（2）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位： m ，重力加速度为 $g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，水的密度为 $10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ).