一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2+6 x+1$ 的图形在点 $(0,1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的坐标是
$\text{A.}$ $\left(-\frac{1}{6}, 0\right)$
$\text{B.}$ $(-1,0)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{6}, 0\right)$
$\text{D.}$ $(1,0)$
若 $-3 a^2-5 b < 0$ ，则方程 $x^5+2 a x^3+3 b x+4 c=0$
$\text{A.}$ 无实根
$\text{B.}$ 有唯一实根
$\text{C.}$ 有三个不同实根
$\text{D.}$ 有五个不同实根
若 $y=x^2+a x+b$ 和 $2 y=-1+x y^3$ 在 $(1,-1)$ 点相切，其中 $a, b$ 是常数，则
$\text{A.}$ $a=0, b=-2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-3$
$\text{C.}$ $a=-3, b=1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
如图， $x$ 轴上有一线密度为常数 $\mu$ ，长度为 $l$ 的细杆，若质量为 $m$ 的质点到杆右端的距离为 $a$ ，已知引力系数为 $k$ ，则质点和细杆之间引力的大小为
$\text{A.}$ $\int_{-l}^0 \frac{k m \mu \mathrm{d} x}{(a-x)^2}$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{k m \mu \mathrm{d} x}{(a-x)^2}$
$\text{C.}$ $2 \int_{-\frac{l}{2}}^0 \frac{k m \mu \mathrm{d} x}{(a+x)^2}$
$\text{D.}$ $2 \int_0^{\frac{l}{2}} \frac{k m \mu \mathrm{d} x}{(a+x)^2}$
设函数 $z=f(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} z=x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y$ ，则点 $(0,0)$
$\text{A.}$ 不是 $f(x, y)$ 的连续点
$\text{B.}$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点
$\text{C.}$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
$\text{D.}$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点
曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=a \ln x(a \neq 0)$ 相切, 则
$\text{A.}$ $4 e$
$\text{B.}$ $3 e$
$\text{C.}$ $2 e$
$\text{D.}$ $ e$
设函数 $f(x), g(x)$ 具有二阶导数，且 $g^{\prime \prime}(x) < 0$ ，若 $g\left(x_0\right)=a$ 是 $g(x)$ 的极值，则 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 取极大值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a) < 0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(a)>0$
$\text{C.}$ f $^{\prime \prime}(a) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(a)>0$
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x)>0 ， f^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) \ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{B.}$ $f(0)>1, \quad f^{\prime \prime}(0) < 0$
$\text{C.}$ $f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f(0) < 1, \quad f^{\prime \prime}(0) < 0$
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
$\text{A.}$ $-2 f^{\prime}(0)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ 0
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $f(0)>0, g(0) < 0$ 且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$
二、填空题 （共 16 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $y=\int_0^x(t-1)(t-2) \mathrm{d} t$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程是
设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
设 $\tan y=x+y$ ，则 $\mathrm{d} y=$
某商品的需求量 $Q$ 与价格 $P$ 的函数关系为 $Q=a P^b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a \neq 0$ ，则需求量对价格 $P$ 的弹性是
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t \\ y=\sin ^3 t\end{array}\right.$ 对应于 $t=\frac{\pi}{6}$ 点处法线方程是
设函数 $f(x)$ 有连续的导函数， $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=b$ ，若函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(x)+a \sin x}{x}, & x \neq 0 \\ A & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $A=$
设 $y=\ln \left(1+3^{-x}\right)$, 则 $\mathrm{d} y=$
设 $z=e^{\sin x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$
设曲线 $f(x)=x^3+a x$ 与 $g(x)=b x^2+c$ 都通过点 $(-1,0)$ ，且在点 $(-1,0)$ 有公共切线，则 $a=$ $b=$ $\qquad$ , $c=$ $\qquad$
设 $f(x)=x e^x$ ，则 $f^{(n)}(x)$ 在点 $x=$ $\qquad$处取极小值是
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^{1-t} e^{-u^2} \mathrm{~d} u \\ y=t^2 \ln \left(2-t^2\right)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处的切线方程为
设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$ ，其对应价格 $P$ 的弹性 $E_P=0.2$ ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元
函数 $y=\ln (1-2 x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $y^{(n)}(0)=$
已知一个长方形的长 $l$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，宽 $w$ 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增加，则当 $l=12 \mathrm{~cm}, w=5 \mathrm{~cm}$ 时，它的对角线增加的速率为
若曲线 $y=x^3+a x^2+b x+1$ 有拐点 $(-1,0)$ ，则 $b=$
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
做函数 $ y=\frac{6}{x^2-2 x+4} $ 的图形，并填写下表
将长为 $a$ 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小?
已知 $y=\arcsin e^{-\sqrt{x}}$ ，求 $y^{\prime}$.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 及 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
对函数 $ y=\frac{x+1}{x^2} $，填写下表
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 $P(x)=10 e^{-\frac{x}{2}}$ 且最大需求量为 6 ，其中 $x$ 表示需求量， $P$ 表示价格.
(1) 求该商品的边际收益函数;
(2) 求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格;
(3) 画出收益函数的图形.
求由方程 $2 y-x=(x-y) \ln (x-y)$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的微分 $\mathrm{d} y$.
求曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x>0)$ 的拐点.
设 $\left\{\begin{array}{l}x=t \cos t \\ y=t \sin t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^2\left(e^x-1\right)}$.
求函数 $f(x)=\int_1^{x^2}\left(x^2-t\right) e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值.
求 $f(x)=\int_1^{x^2}\left(x^2-t\right) e^{-t^2} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值.
求方程 $k \arctan x-x=0$ 不同实根的个数，其中 $k$ 为参数.
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3} t^3+t+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3} t^3-t+\frac{1}{3}\end{array}\right.$ 确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点.