试卷12-数学组卷-自助组卷

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试卷12

数学

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 1

时, 函数

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限 ( )

A.

等于 2 .

B.

等于 0 .

C.

为

\infty

.

D.

不存在但不为

\infty

.

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2.

lim_{x \to 0} \frac{a \tan x + b (1 - \cos x)}{c \ln (1 - 2 x) + d (1 - e^{- x^{2}})} = 2

, 其中

a^{2} + c^{2} \neq 0

, 则必有

A.

b = 4 d

.

B.

b = - 4 d

.

C.

a = 4 c

.

D.

a = - 4 c

.

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3. 设

f (x)

有连续导数,

f (0) = 0, f^{'} (0) \neq 0, F (x) = \int_{0}^{x} (x^{2} - t^{2}) f (t) d t

, 且当

x \to 0

时,

F^{'} (x)

与

x^{k}

是同阶无穷小, 则

k

等于

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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4. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - (a x + b x^{2})}{x^{2}} = 2

，则

A.

a = 1, b = - \frac{5}{2}

B.

a = 0, b = - 2

C.

a = 0, b = - \frac{5}{2}

D.

a = 1, b = - 2

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5. 设

x \to 0

时，

e^{\tan x} - e^{x}

与

x^{n}

是同阶无穷小，则

n

为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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6. 设

f (x) = \int_{0}^{1 - \cos x} \sin t^{2} d t, g (x) = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{6}}{6}

，则当

x \to 0

时，

f (x)

是

g (x)

的

A.

低阶无穷小

B.

高阶无穷小

C.

等价无穷小

D.

同阶但非等价无穷小

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7. 已知函数

y = y (x)

在任意点

x

处的增量

Δ y = \frac{y Δ x}{1 + x^{2}} + α ，

且当

Δ x \to 0

时，

α

是

Δ x

的高阶无穷小量，

y (0) = π

，则

y (1)

等于

A.

2 π

B.

π

C.

e^{\frac{π}{4}}

D.

π e^{\frac{π}{4}}

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8. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}} & x > 0 \\ x^{2} g (x) & x \leq 0 \end{cases}

，其中

g (x)

是有界函数，则

f (x)

在

x = 0

处

A.

极限不存在

B.

极限存在但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

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9. " 对任意给定的

ε \in (0, 1)

，总存在正整数

N

，当

n \geq N

时，恒有

| x_{n} - a | \leq 2 ε

“是数列

{x_{n}}

收敛于

a

的

A.

充分条件但非必要条件

B.

必要但非充分条件

C.

充分必要条件

D.

既非充分条件又非必要条件

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10. 若

lim_{x \to 0} \frac{\sin 6 x + x f (x)}{x^{3}} = 0

，则

lim_{x \to 0} \frac{6 + f (x)}{x^{2}}

为

A.

0

B.

6

C.

36

D.

\infty

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11. 设函数

y = f (x)

在

(0, + \infty)

内有界且可导，则

A.

当

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

时，必有

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

B.

当

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x)

存在时，必有

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

C.

当

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 0

时，必有

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = 0

D.

当

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x)

存在时，必有

lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = 0

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12. 把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} \cos t^{2} d t, β = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t, γ = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t ，

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

A.

α, β, γ

B.

α, γ, β

C.

β, α, γ

D.

β, γ, α

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13. 设

f (x) = {\begin{cases} 1, x > 0 \\ 0, x = 0, F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t \\ - 1, x < 0 \end{cases}

则

A.

F (x)

在

x = 0

点不连续

B.

F (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，但在

x = 0

点不可导

C.

F (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导，且满足

F^{'} (x) = f (x)

D.

F (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导，但不一定满足

F^{'} (x) = f (x)

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14. 函数

f (x) = \ln | (x - 1) (x - 2) (x - 3) |

的驻点个数为

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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二、填空题（共 13 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 若

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{\sin 2 x + e^{2 a x} - 1}{x} & x \neq 0 \\ a & x = 0 \end{array}

在

(- \infty, + \infty)

上连续，则

a =

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16. 设

lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{x})}^{a x} = \int_{- \infty}^{a} t e^{t} d t

，则常数

a =

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17.

lim_{x \to \infty} x [\sin \ln (1 + \frac{3}{x}) - \sin \ln (1 + \frac{1}{x})] =

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18.

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} - 2}{x^{2}} =

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19.

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} - 2}{x^{2}} =

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20. 设曲线

f (x) = x^{n}

在点

(1, 1)

处的切线与

x

轴的交点为

(ξ_{n}, 0)

，则

lim_{n \to \infty} f (ξ_{n}) =

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21.

lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{\ln (1 + 2 x^{3})} =

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22. 若

a > 0, b > 0

均为常数，则

lim_{x \to 0} {(\frac{a^{x} + b^{x}}{2})}^{\frac{3}{x}} =

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23.

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3 - x} - \sqrt{1 + x}}{x^{2} + x - 2} =

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24. 设常数

a \neq \frac{1}{2}

, 则

lim_{n \to \infty} \ln {[\frac{n - 2 n a + 1}{n (1 - 2 a)}]}^{n} =

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25. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{(n - 1) x}{n x^{2} + 1}

, 则

f (x)

的间断点为

x =

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26. 若

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{e^{x} - a} (\cos x - b) = 5

，则

a =

b =

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27. 极限

lim_{x \to \infty} x \sin \frac{2 x}{x^{2} + 1} =

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三、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

28. 求正常数

a

与

b

, 使等式

lim_{x \to 0} \frac{1}{b x - \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a + t^{2}}} d t = 1

成立.

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29. 求下列极限:
(1)

lim_{x \to 1} \frac{x^{x} - 1}{x \ln x}

;
(2)

lim_{x \to 1} (1 - x^{2}) \tan \frac{π}{2} x

.

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30. 已知

lim_{x \to \infty} {(\frac{x - a}{x + a})}^{x} = \int_{a}^{+ \infty} 4 x^{2} e^{- 2 x} d x

，求常数

a

的值.

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31. 求极限

lim_{x \to \infty} [x - x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})]

.

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32. 求

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x (1 - \cos \sqrt{x})}

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33. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{g (x) - e^{- x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

，其中

g (x)

有二阶连续导数，且

g (0) = 1, g^{'} (0) = - 1

.
(1) 求

f^{'} (x)

；
(2) 讨论

f^{'} (x)

在

(- \infty, + \infty)

上的连续性.

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34. 求极限

lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x - 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}}

.

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35. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}}{x \ln (1 + x) - x^{2}}

.

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36. 已知函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内可导，

f (x) > 0

，

lim_{x \to + \infty} f (x) = 1

，且满足

lim_{h \to 0} {[\frac{f (x + h x)}{f (x)}]}^{\frac{1}{h}} = e^{\frac{1}{x}}

, 求

f (x)

.

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37. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} [\int_{0}^{u^{2}} \arctan (1 + t) d t] d u}{x (1 - \cos x)}

.

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38. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3}} [{(\frac{2 + \cos x}{3})}^{x} - 1]

.

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39. 求

lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} x}{x^{2}})

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40. 设函数

f (x)

连续，且

f (0) \neq 0

，求极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t} .

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