一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^{2}-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限 ( )
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 .
$\text{C.}$ 为 $\infty$.
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)}=2$, 其中 $a^{2}+c^{2} \neq 0$, 则必有
$\text{A.}$ $b=4d$.
$\text{B.}$ $b=-4 d$.
$\text{C.}$ $a=4 c$.
$\text{D.}$ $a=-4 c$.
设 $f(x)$ 有连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0, F(x)=\int_{0}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right) f(t) \mathrm{d} t$, 且当 $x \rightarrow 0$ 时, $F^{\prime}(x)$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小, 则 $k$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$ ，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$
设 $x \rightarrow 0$ 时， $e^{\tan x}-e^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)=\int_0^{1-\cos x} \sin t^2 \mathrm{~d} t, g(x)=\frac{x^3}{5}+\frac{x^6}{6}$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha ，$
且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量， $y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $e^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{D.}$ $\pi e^{\frac{\pi}{4}}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}} & x>0 \\ x^2 g(x) & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
" 对任意给定的 $\varepsilon \in(0,1)$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n \geq N$时，恒有 $\left|x_n-a\right| \leq 2 \varepsilon$ “是数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但非必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界且可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量
$$
\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t ，
$$
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
设$f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1, x>0 \\
0, x=0, \quad F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t \\
-1, x < 0
\end{array}\right.$
则
$\text{A.}$ $F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续
$\text{B.}$ ${F}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，但在 $\boldsymbol{x}=0$ 点不可导
$\text{C.}$ ${F}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且满足 ${F}^{\prime}(x)=f(x)$
$\text{D.}$ ${F}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，但不一定满足 $F^{\prime}(x)=f(x)$
函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
二、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=$
设 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{a x}=\int_{-\infty}^a t e^t \mathrm{~d} t$ ，则常数 $a=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=$
设曲线 $f(x)=x^n$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $\left(\xi_n, 0\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(\xi_n\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{\ln \left(1+2 x^3\right)}=$
若 $a>0, b>0$ 均为常数，则 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x}}{x^2+x-2}=$
设常数 $a \neq \frac{1}{2}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}\right]^n=$ $\qquad$
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1) x}{n x^2+1}$, 则 $f(x)$ 的间断点为 $x=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5$ ，则 $a=$ $\qquad$ $b=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{2 x}{x^2+1}=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求正常数 $a$ 与 $b$, 使等式 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立.
求下列极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^x-1}{x \ln x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 1}\left(1-x^2\right) \tan \frac{\pi}{2} x$.
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x=\int_a^{+\infty} 4 x^2 e^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ，求常数 $a$的值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-e^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 有二阶连续导数，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$.
(1) 求 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 讨论 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续性.
求极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4 x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^2}$.
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导， $f(x)>0$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且满足 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{x}}$, 求 $f(x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[\int_0^{u^2} \arctan (1+t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} u}{x(1-\cos x)}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3}\left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x-1\right]$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{x^2}\right)$
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f(0) \neq 0$ ，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t} .
$$