一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $F(x)=\frac{x^2}{x-a} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $\lim _{x \rightarrow a} F(x)$ 等于
$\text{A.}$ $a^2$
$\text{B.}$ $a^2 f(a)$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 不存在
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $e^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设 $\alpha(x)=\int_0^{5 x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, \beta(x)=\int_0^{\sin x}(1+t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续，则 $x=0$ 是函数 $g(x)=\frac{\int_0^x f(t) \mathrm{d} t}{x}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点.
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷间断点
$\text{D.}$ 振荡间断点.
设 $0 < a < b$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{-n}+b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}=$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $a^{-1}$
$\text{C.}$ $b$
$\text{D.}$ $b^{-1}$
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{a-b}$
$\text{D.}$ $e^{b-a}$
1、若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x}-a\right) e^x\right]=1$ ，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$
$\text{C.}$ $k=3, c=4$
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0} \cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{e^x-\cos x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=$
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos [x f(x)]}{\left(e^{x^2}-1\right) f(x)}=1$ ，则 $f(0)=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+1, & |x| \leq c \\ \frac{2}{|x|}, & |x|>c\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $c=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+2^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=$
$ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 可导，且 $F(x)=\int_0^x t^{n-1} f\left(x^n-t^n\right) \mathrm{d} t$ ， $f(0)=0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{x^{2 n}}$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right)$.
曲线 $y=\frac{x+4 \sin x}{5 x-2 \cos x}$ 的水平渐近线方程为
设 $f(x, y)=\frac{y}{1+x y}-\frac{1-y \sin \frac{\pi x}{y}}{\arctan x}, x>0, y>0$, 求:
( I ) $g(x)=\lim _{y \rightarrow+\infty} f(x, y)$ ；
(ㅍ) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{\sin x}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$.
(1) 比较 $\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t$ 与 $\int_0^1 t^n|\ln t| \mathrm{d} t$ $(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由.
（2）记 $u_n=\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n$.
(1) 比较 $\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t$ 与 $\int_0^1 t^n|\ln t| \mathrm{d} t$ $(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由.
（2）记 $u_n=\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} u_n$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{1 / x}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$.
(1) 比较 $\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t$ 与 $\int_0^1 t^n|\ln t| \mathrm{d} t$ $(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由.
（2）记 $u_n=\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} u_n$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{e^x-1}}$.
已知函数 $F(x)=\frac{\int_0^x \ln \left(1+t^2\right) \mathrm{d} t}{x^a}$ ，设
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=0 ，
$$
试求 $a$ 的取值范围.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 \sin x}-x-1}{x \ln (1+x)}$
已知函数 $f(x)=\frac{1+x}{\sin x}-\frac{1}{x}$, 记 $a=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ ，
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 若 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)-a$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，求常数 $k$ 的值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-e^{2-2 \cos x}}{x^4}$.