考试11-数学组卷-自助组卷

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考试11

数学

一、单选题（共 13 题），每题只有一个选项正确

1. 设

F (x) = \frac{x^{2}}{x - a} \int_{a}^{x} f (t) d t

，其中

f (x)

为连续函数，则

lim_{x \to a} F (x)

等于

A.

a^{2}

B.

a^{2} f (a)

C.

0

D.

不存在

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2. 设当

x \to 0

时，

e^{x} - (a x^{2} + b x + 1)

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{1}{2}, b = 1

B.

a = 1, b = 1

C.

a = - \frac{1}{2}, b = 1

D.

a = - 1, b = 1

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3. 设

α (x) = \int_{0}^{5 x} \frac{\sin t}{t} d t, β (x) = \int_{0}^{\sin x} (1 + t)^{\frac{1}{t}} d t

，则当

x \to 0

时，

α (x)

是

β (x)

的

A.

高阶无穷小

B.

低阶无穷小

C.

同阶但不等价的无穷小

D.

等价无穷小

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4. 当

x \to 0^{+}

时，与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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5. 当

x \to 0^{+}

时，与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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6. 设函数

f (x)

在区间

[- 1, 1]

上连续，则

x = 0

是函数

g (x) = \frac{\int_{0}^{x} f (t) d t}{x}

的

A.

跳跃间断点.

B.

可去间断点

C.

无穷间断点

D.

振荡间断点.

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7. 设

0 < a < b

，则

lim_{n \to \infty} {(a^{- n} + b^{- n})}^{\frac{1}{n}} =

A.

a

B.

a^{- 1}

C.

b

D.

b^{- 1}

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8. 当

x \to 0

时,

f (x) = x - \sin a x

与

g (x) = x^{2} \ln (1 - b x)

是等价无穷小量，则

A.

a = 1, b = - 1 / 6

B.

a = 1, b = 1 / 6

C.

a = - 1, b = - 1 / 6

D.

a = - 1, b = 1 / 6

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9. 函数

f (x) = \frac{x - x^{3}}{\sin π x}

的可去间断点的个数为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

无穷多

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10. 极限

lim_{x \to \infty} {[\frac{x^{2}}{(x - a) (x + b)}]}^{x}

A.

1

B.

e

C.

e^{a - b}

D.

e^{b - a}

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11. 1、若

lim_{x \to 0} [\frac{1}{x} - (\frac{1}{x} - a) e^{x}] = 1

，则

a

等于

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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12. 已知当

x \to 0

时，

f (x) = 3 \sin x - \sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小, 则

A.

k = 1, c = 4

B.

k = 1, c = - 4

C.

k = 3, c = 4

D.

k = 3, c = - 4

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13. 已知当

x \to 0

时,

f (x) = 3 \sin x - \sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小, 则

A.

k = 1, c = 4

B.

k = 1, c = - 4

C.

k = 3, c = 4

D.

k = 3, c = - 4

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

14.

lim_{x \to 0} \cot x (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}) =

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15.

lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}{e^{x} - \cos x} =

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16.

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \tan x}) =

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17.

lim_{x \to 0} \frac{x \ln (1 + x)}{1 - \cos x} =

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18.

lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - \sin x}{x^{3}} =

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19. 已知函数

f (x)

连续，且

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos [x f (x)]}{(e^{x^{2}} - 1) f (x)} = 1

，则

f (0) =

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20. 设函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, & | x | \leq c \\ \frac{2}{| x |}, & | x | > c \end{cases}

在

(- \infty, + \infty)

内连续，则

c =

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21.

lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}} - 1} =

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22.

lim_{x \to 0} {(\frac{1 + 2^{x}}{2})}^{\frac{1}{x}} =

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23.

lim_{x \to \frac{π}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{\cos x - \sin x}} =

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

24. 设

f (x)

可导，且

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t

，

f (0) = 0

, 求

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x^{2 n}}

.

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25. 求

lim_{x \to 0} (\frac{1 + x}{1 - e^{- x}} - \frac{1}{x})

.

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26. 曲线

y = \frac{x + 4 \sin x}{5 x - 2 \cos x}

的水平渐近线方程为

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27. 设

f (x, y) = \frac{y}{1 + x y} - \frac{1 - y \sin \frac{π x}{y}}{\arctan x}, x > 0, y > 0

, 求:
( I )

g (x) = lim_{y \to + \infty} f (x, y)

；
(ㅍ)

lim_{x \to 0^{+}} g (x)

.

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28. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

.

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29. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{[\sin x - \sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

.

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30. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x}

.

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31. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x) [x - \ln (1 + \tan x)]}{\sin^{4} x}

.

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32. (1) 比较

\int_{0}^{1} | \ln t | [\ln (1 + t)]^{n} d t

与

\int_{0}^{1} t^{n} | \ln t | d t

(n = 1, 2, \dots)

的大小，说明理由.
（2）记

u_{n} = \int_{0}^{1} | \ln t | [\ln (1 + t)]^{n} d t (n = 1, 2, \dots)

，求极限

lim_{n \to \infty} u_{n}

.

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33. (1) 比较

\int_{0}^{1} | \ln t | [\ln (1 + t)]^{n} d t

与

\int_{0}^{1} t^{n} | \ln t | d t

(n = 1, 2, \dots)

的大小，说明理由.
（2）记

u_{n} = \int_{0}^{1} | \ln t | [\ln (1 + t)]^{n} d t (n = 1, 2, \dots)

，求极限

lim_{x \to \infty} u_{n}

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34. 求极限

lim_{x \to + \infty} {(x^{1 / x} - 1)}^{\frac{1}{\ln x}}

.

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35. (1) 比较

\int_{0}^{1} | \ln t | [\ln (1 + t)]^{n} d t

与

\int_{0}^{1} t^{n} | \ln t | d t

(n = 1, 2, \dots)

的大小，说明理由.
（2）记

u_{n} = \int_{0}^{1} | \ln t | [\ln (1 + t)]^{n} d t (n = 1, 2, \dots)

，求极限

lim_{x \to \infty} u_{n}

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36. 求极限

lim_{x \to 0} {[\frac{\ln (1 + x)}{x}]}^{\frac{1}{e^{x} - 1}}

.

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37. 已知函数

F (x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1 + t^{2}) d t}{x^{a}}

，设

lim_{x \to + \infty} F (x) = lim_{x \to 0^{+}} F (x) = 0 ，

试求

a

的取值范围.

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38. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 \sin x} - x - 1}{x \ln (1 + x)}

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39. 已知函数

f (x) = \frac{1 + x}{\sin x} - \frac{1}{x}

, 记

a = lim_{x \to 0} f (x)

，
(1) 求

a

的值;
(2) 若

x \to 0

时，

f (x) - a

与

x^{k}

是同阶无穷小，求常数

k

的值.

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40. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - e^{2 - 2 \cos x}}{x^{4}}

.

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