一、单选题 （共 27 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $\frac{z}{z-1}=i+1$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $-1-i$
$\text{B.}$ $-1+i$
$\text{C.}$ $1-i$
$\text{D.}$ $1+i$
已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ 若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$, 则 $x=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知向量 $a, b$ 满足 $|a|=1,|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|=2$, 且 $(\boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{a}) \perp \boldsymbol{b}$. 则 $|\boldsymbol{b}|=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $1$
若复数 $z$ 满足 $(2+i) z=|1+2 i|$, 则 $z$ 的虚部为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{5} i$
$\text{B.}$ $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $-\frac{2 \sqrt{5}}{5} i$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
已知四边形 $\mathrm{ABCD}$ 满足 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}$, 点 $\mathrm{M}$ 满足 $\overrightarrow{D M}=\overrightarrow{M C}$, 若 $\overrightarrow{B M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$, 则 $x y=$.
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
设 $z=5+\mathrm{i}$, 则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=$
$\text{A.}$ $10 {i}$
$\text{B.}$ $2 {i}$
$\text{C.}$ $10$
$\text{D.}$ $-2$
已知 $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}+1$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}-1$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $1-\sqrt{3}$
已知向量 $\vec{a}=(x+1, x), \vec{b}=(x, 2)$, 则
$\text{A.}$ “ $\vec{a} \perp \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x=-3$ ”
$\text{B.}$ “ $\vec{a} \| \vec{b}$ ”的必要条件是“ $x=-3$ ”
$\text{C.}$ “ $\vec{a} \perp \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x=0$ ”
$\text{D.}$ “ $\vec{a} \| \vec{b}$ ”的充分条件是“ $x=-1+\sqrt{3}$ ”
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$,若 $B=\frac{\pi}{3}, b^2=\frac{9}{4} a c$, 则 $\sin A+\sin C=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
已知向量 $\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3, x)$, 若 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $x$ 等于
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
已知复数 $z_1=2-\mathrm{i}, z_2=a+\mathrm{i}(a \in \mathbf{R})$, 若复数 $z_1 \cdot z_2$ 为纯虚数, 则实数 $a$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
复数 $z=\frac{3+4 \mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ (其中 i 为虚数单位) 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$, 满足 $|\vec{a}|=2,(4 \vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}=4$, 则 $|2 \vec{a}+\vec{b}|=$
$\text{A.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 5
把复数 $1+i$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{2 \pi}{3}$ 所得到的向量对应的复数是
$\text{A.}$ $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}i$
$\text{B.}$ $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}i$
$\text{C.}$ $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2} i$
$\text{D.}$ $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2} i$
设函数 $\mathrm{y}=\operatorname{arctg} \mathrm{x}$ 的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 C . 又设图象 $C^{\prime}$ 与 $C$ 关于原点对称, 那么 $C^{\prime}$ 所对应的函数是
$\text{A.}$ $y=-{arctg}(x-2)$
$\text{B.}$ $y={arctg}(x-2)$
$\text{C.}$ $y=-{arctg}(x+2)$
$\text{D.}$ $y={arctg}(x+2)$
已知复数 $z$ 的模为 2 , 则 $|z-i|$ 的最大值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ 3
函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2}$ 的反函数
$\text{A.}$ 是奇函数,在 $(0,+\infty)$ 上是减函数
$\text{B.}$ 是偶函数,在 $(0,+\infty)$ 上是减函数
$\text{C.}$ 是奇函数,在 $(0,+\infty)$ 上是增函数
$\text{D.}$ 是偶函数,在 $(0,+\infty)$ 上是增函数
已知 $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \cdots, \mathrm{a}_8$ 为各项都大于零的等比数列, 公式 $q \neq 1$, 则
$\text{A.}$ $\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_8>\mathrm{a}_4+\mathrm{a}_5$
$\text{B.}$ $\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_8 < \mathrm{a}_4+\mathrm{a}_5$
$\text{C.}$ $a_1+a_8=a_4+a_5$
$\text{D.}$ $a_1+a_8$ 和 $a_4+a_5$ 的大小关系不能由已知条件确定
如果复数 $z$ 满足 $|z+i|+|z-i|=2$, 那么 $|z+i+1|$ 的最小值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
函数 $y=\arccos (\sin x)\left(-\frac{\pi}{3} < x < \frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值域是
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$
$\text{B.}$ $\left[0, \frac{5 \pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$
复数 $\frac{(2+2 i)^4}{(1-\sqrt{3} i)^5}$ 等于
$\text{A.}$ $1+\sqrt{3} i$
$\text{B.}$ $-1+\sqrt{3} i$
$\text{C.}$ $1-\sqrt{3} i$
$\text{D.}$ $-1-\sqrt{3} i$
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $m$ 项和为 30 , 前 $2 m$ 项和为 100 , 则它的前 $3 m$ 项和为
$\text{A.}$ 130
$\text{B.}$ 170
$\text{C.}$ 210
$\text{D.}$ 260
满足 $\arccos (1-x) \geq \arccos x$ 的 $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$
$\text{C.}$ $\left[0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
函数 $y=\cos ^2 x-3 \cos x+2$ 的最小值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ 6
复数 $-i$ 的一个立方根是 $i$, 它的另外两个立方根是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i$
$\text{C.}$ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i$
$\text{D.}$ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i$
已知 $z$ 是虚数, $z^2+2 z$ 是实数, 则 $z$的
$\text{A.}$ 实部为 1
$\text{B.}$ 实部为 -1
$\text{C.}$ 虚部为 1
$\text{D.}$ 虚部为 -1
已知平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$中, $A A_1=2, B D=3, \overrightarrow{A D_1} \cdot \overrightarrow{D C}-\overrightarrow{A B_1} \cdot \overrightarrow{B C}=4$, 则 $\cos \left\langle\overrightarrow{A A_1}, \overrightarrow{B D}\right\rangle=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
函数 $y=\sin x \cos x+\sin x+\cos x$ 的最大值是
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差 $d \neq 0$, 且 a1, a3, a9 成等比数列, 则 $\frac{a_1+a_3+a_9}{a_2+a_4+a_{10}}$的值是
$\sin \left(\arccos \frac{1}{2}+\arccos \frac{1}{3}\right)=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 a 为实数, 在复数集 C 中解方程: $\mathrm{z}^2+2|\mathrm{z}|=\mathrm{a}$.
设 $a \geqslant 0$, 在复数集 $C$ 中解方程 $z^2+2|z|=a$.
求函数 $y=\sin ^2 x+2 \sin x \cos x+3 \cos ^2 x$ 的最小值，并写出使函数 $y$ 取最小值的 $x$ 的集合.
已知复数 $z=1+i$, 求复数 $\frac{z^2-3 z+6}{z+1}$ 的模和辐角的主值.
已知 $\mathrm{z} \in \mathrm{C}$, 解方程 ${z} \overline{{z}}-3 {i} \overline{{z}}=1+3 {i}$.
设复数 $z=\cos \theta+i \sin \theta \quad(0 < \theta < \pi), \omega=\frac{1-(\bar{z})^4}{1+z^4}$, 并且 $|\omega|=\frac{\sqrt{3}}{3}, \arg \omega < \frac{\pi}{2}$, 求 $\theta$.
已知 $z=1+i$.
(1) 设 $\omega=z^2+3 \bar{z}-4$, 求 $\omega$ 的三角形式;
(2) 如果 $\frac{z^2+a z+b}{z^2-z+1}=1-i$, 求实数 $a, b$ 的值.
在复平面上, 一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 $Z_1, Z_2, Z_3, O$ (其中 0 是原点), 已知 $Z_2$ 对应复数 $Z_2=1+\sqrt{3} i$. 求 $Z_1$ 和 $Z_3$ 对应的复数.
已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} i, \omega=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i$. 复数 $\bar{z}, z^2 \omega^3$ 在复数平面上所对应的点分别为 $P, Q$. 证明 $\triangle O P Q$ 是等腰直角三角形 (其中 $O$ 为原点).
设复数 $z=3 \cos \theta+\mathrm{i} \cdot 2 \sin \theta, \mathrm{y}=\theta-\arg Z(0 < \theta < \pi / 2)$ 求函数的最大值以及对应的 $\theta$ 值