gzsx2-数学组卷-自助组卷

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gzsx2

数学

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1), x \geq 0 \end{cases}

在

R

上单调递增, 则

a

的取值范围是

A.

(- \infty, 0]

B.

[- 1, 0]

C.

[- 1, 1]

D.

[0, + \infty)

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2. 已知函数的定义域为

R, f (x) > f (x - 1) + f (x - 2)

且

x < 3

时

f (x) = x

, 则下列结论中一定正确的是

A.

f (10) > 100

B.

f (20) > 1000

C.

f (10) < 1000

D.

f (20) < 10000

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3. 已知命题

p : \forall x \in R, | x + 1 | > 1

; 命题

q : \exists x > 0, x^{3} = x

. 则

A.

p

和

q

都是真命题

B.

\neg p

和

q

都是真命题

C.

p

和

\neg q

都是真命题

D.

\neg p

和

\neg q

都是真命题

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4. 设函数

f (x) = (x + a) \ln (x + b)

, 若

f (x) ⩾ 0

, 则

a^{2} + b^{2}

的最小值为

A.

\frac{1}{8}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

1

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5. 函数

f (x) = - x^{2} + (e^{x} - e^{- x}) \sin x

的区间

[- 2.8, 2.8]

的图像大致为

A.

B.

C.

D.

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6. 设

a \log_{3} 4 = 2

，则

4^{- a} =

A.

\frac{1}{16}

B.

\frac{1}{9}

C.

\frac{1}{8}

D.

\frac{1}{6}

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7. 已知奇函数

f (x)

的定义域为

R

, 对任意的

x

满足

f (- x) = f (x + 2)

, 且

f (x)

在区间

(- 1, 0)

上单调递增, 若

a = \log_{4} 3, b = \log_{π} 2, c = \frac{1}{4} \log_{\sqrt{2}} 512 \sqrt{2}

, 则

f (a), f (b), f (c)

的大小关系为

A.

f (c) > f (a) > f (b)

B.

f (c) > f (b) > f (a)

C.

f (a) > f (b) > f (c)

D.

f (a) > f (c) > f (b)

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8. 方程

2^{\log_{3} x} = \frac{1}{4}

的解是

A.

x = \frac{1}{9}

B.

x = \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

x = \sqrt{3}

D.

x = 9

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9. 如果奇函数

f (x)

在区间

[3, 7]

上是增函数且最小值为 5 , 那么

f (x)

在区间

[- 7

- 3]

上是

A.

增函数且最小值为一 5

B.

增函数且最大值为 -5

C.

减函数且最小值为 -5

D.

减函数且最大值为 -5

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10.

\frac{\log_{8} 9}{\log_{2} 3}

的值是

A.

\frac{2}{3}

B.

C.

\frac{3}{2}

D.

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11. 如果函数

f (x) = x^{2} + b x + c

对任意实数 t 都有

f (2 + t) = f (2 - t)

，那么

A.

f (2) < f (1) < f (4)

B.

f (1) < f (2) < f (4)

C.

f (2) < f (4) < f (1)

D.

f (4) < f (2) < f (1)

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12.

y = x^{\frac{3}{5}}

在

[- 1, 1]

上是

A.

增函数且是奇函数

B.

增函数且是偶函数

C.

减函数且是奇函数

D.

减函数且是偶函数

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13. 若

a 、 b

是任意实数, 且

a > b

, 则

A.

a^{2} > b^{2}

B.

\frac{b}{a} < 1

C.

\lg (a - b) > 0

D.

{(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}

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14. 某种细菌在培养过程中, 每 20 分钟分裂一次 (一个分裂为两个). 经过 3 小时, 这种细菌由 1 个可繁殖成

A.

511 个

B.

512 个

C.

1023 个

D.

1024 个

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15. 定义在

(- \infty, + \infty)

上的任意函数

f (x)

都可以表示成一个奇函数

g (x)

和一个偶函数

h (x)

之和, 如果

f (x) = \lg (10^{x} + 1), x \in (- \infty, + \infty)

, 那么

A.

g (x) = x, h (x) = \lg (10^{x} + 10^{- x} + 2)

B.

g (x) = \frac{1}{2} [\lg (10^{x} + 1) + x], h (x) = \frac{1}{2} [\lg (10^{x} + 1) - x]

C.

g (x) = \frac{x}{2}, h (x) = \lg (10^{x} + 1) - \frac{x}{2}

D.

g (x) = - \frac{x}{2}, h (x) = \lg (10^{x} + 1) + \frac{x}{2}

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16.

f (x)

是

(- \infty, + \infty)

上的奇函数,

f (x + 2) = - f (x)

, 当

0 \leq x \leq 1

时,

f (x) = x

, 则

f (7.5)

等于

A.

0.5

B.

-0.5

C.

1.5

D.

-1.5

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17. 定义在区间

(- \infty, + \infty)

的奇函数

f (x)

为增函数；偶函数

g (x)

在区间

[0, + \infty)

的图像与

f (x)

的图像重合, 设

a > b > 0

, 给出下列不等式:
(1)

f (b) - f (- a) > g (a) - g (- b);

(2)

f (b) - f (- a) < g (a) - g (- b); ∣

(3)

f (a) - f (- b) > g (b) - g (- a)

;
(4)

f (a) - f (- b) < g (b) - g (- a)

,

其中成立的是

A.

(1)与(4)

B.

(2)与(3)

C.

(1)与(3)

D.

(2)与(4)

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18. 函数

f (x) = \frac{1}{x} (x \neq 0)

的反函数

f^{- 1} (x) =

A.

x (x \neq 0)

B.

\frac{1}{x} (x \neq 0)

C.

- x (x \neq 0)

D.

- \frac{1}{x} (x \neq 0)

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19. 若函数

y = f (x)

的反函数是

y = g (x), f (a) = b, a b \neq 0

，则

g (b)

等于

A.

a

B.

a - 1

C.

b

D.

b - 1

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

20. 设函数

f (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

, 则

A.

x = 3

是

f (x)

的极小值点

B.

当

0 < x < 1

时,

f (x) < f (x^{2})

C.

当

1 < x < 2

时,

- 4 < f (2 x - 1) < 0

D.

当

- 1 < x < 0

时,

f (2 - x) > f (x)

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21. 已知定义在区间

[0, π]

上的函数

f (x) = a x + \cos x

, 其中

a \in R

, 若函数

f (x)

恰有两个极值点, 设其极大值、极小值分别记为

m_{1}, m_{2}

. 则下列结论正确的是

A.

函数

f^{'} (x)

的图象关于直线

x = \frac{π}{2}

对称

B.

实数

a

的取值范围为

(0, 1)

C.

m_{1} + m_{2} = a π

D.

m_{1} + m_{2} = a + a π

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22. 已知函数

f (x)

的定义域为

R, f (x + y) + 2 x y = f (x) + f (y), f (1) = 2

，则

A.

f (0) = 0

B.

f (- 2) = - 10

C.

y = f (x) + x^{2}

是奇函数

D.

y = f (x) - x^{2}

是偶函数

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三、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

23. 已知函数

f (x) = a x^{2} + b x + c (b > a)

, 对于

\forall x \in R, f (x) \geq 0)

恒成立, 求

\frac{b - a}{a + b + c}

的最大值是

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24. 已知

f (m) = {\begin{cases} m - 1, m 为奇数 \\ \frac{m}{2}, m 偶数 \end{cases}

, 若

a_{0} = \sum_{k = 0}^{2024} 4^{k}, a_{n + 1} = f (a^{n})

满足

a_{k} = 0

的最小

k

为

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25. 已知奇函数

y = f (x)

在其定义域

(- 1, 1)

上是减函数, 且

f (1 - a) + f (1 - a^{2}) < 0

, 则

a

的取值范围为

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26. 不等式

6^{x^{2} + x - 2} < 1

的解集是

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27. 方程

\frac{1 + 3^{- x}}{1 + 3^{x}} = 3

的解是

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四、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

28. 已知函数

y = f (x) (x \in R)

是偶函数. 当

x \geq 0

时，

f (x) = x^{2} - 4 x

.
(1) 求函数

f (x)

在

x \in R

上的解析式；
(2) 若函数

f (x)

在区间

[a, a + 3]

上单调，求实数

a

的取值范围；
(3)已知

h (x) = | f (x) | - m

，试讨论

h (x)

的零点个数，并求对应的

m

的取值范围.

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29. 设函数

y = f (x)

的定义域

D \subseteq R

, 若对任意

x \in D

，均有

f (- x) \neq - f (x)

成立，则称

y = f (x)

为“无奇”函数.
(1)判断函数 ①

f (x) = x^{2}

和 ②

g (x) = \lg \frac{2 - x}{1 + x}

是否为“无奇”函数，说明理由；
(2) 若函数

h (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + x + a

是定义在

[- 1, 2]

上的 “无奇”函数，求实数

a

的取值范围；
(3) 若函数

r (x) = \frac{1}{2^{x + 1} + 1} + m

是 “无奇”函数，求实数

m

的取值范围.

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30.

f (x) = 1 g \frac{1 + 2^{x} + \dots + (n - 1)^{x} + n^{x} a}{n}

, 其中

a

是实数,

n

是任意自然数且

n ⩾ 2

.
(I) 如果

f (x)

当

x \in (- \infty, 1]

时有意义, 求

a

的取值范围;
(II) 如果

a \in (0, 1]

, 证明

2 f (x) < f (2 x)

当

x \neq 0

时成立.

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31. 已知

a > 0, a \neq 1

, 解不等式

\log a (4 + 3 x - x 2) - \log a (2 x - 1) > \log a 2

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32. 根据函数单调性的定义, 证明函数

f (x) = - x^{3} + 1

在

(- \infty, + \infty)

上是减函数.

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33. 已知

n

为自然数, 实数

a > 1

, 解关于

x

的不等式

\log_{2} x - \log_{a^{2}} x + 12 \log_{a^{3}} x + \dots + n (n - 2)^{n - 1} \log_{a^{n}} x > \frac{1 - (- 2)^{n}}{3} \log_{a} (x^{2} - a)

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34. 设

a > 0, a \neq 1

, 解关于

x

的不等式

a^{x^{4} - 2 x^{2}} > {(\frac{1}{a})}^{a^{2}}

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35. 已知

f (x) = \log_{a} \frac{1 + x}{1 - x} (a > 0, a \neq 1)

.
(1) 求

f (x)

的定义域;
(2) 判断 f （x）的奇偶性并予以证明;
(3) 求使

f (x) > 0

的

x

取值范围.

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36. 解方程

\lg (x^{2} + 4 x - 26) - \lg (x - 3) = 1

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37. 解不等式

\log_{a} (x + 1 - a) > 1

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38. 某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加

22 %

, 人均粮食占有量比现在提高

10 %

. 如果人口年增长率为

1 %

, 那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷）?
（粮食单产

= \frac{总产量}{耕地面积}

, 人均粮食占有量

= \frac{总产量}{总人口数}

)

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39. 已知

a 、 b 、 c

是实数, 函数

f (x) = a x^{2} + b x + c, g (x) = a x + b

, 当

- 1 ⩽ x ⩽ 1

时,

| f (x) | ⩽ 1

.
( I ) 证明:

| c | ⩽ 1

；
(II) 证明: 当

- 1 ⩽ x ⩽ 1

时,

| g (x) | ⩽ 2

;
(III) 设

a > 0

, 当

- 1 ⩽ x ⩽ 1

时,

g (x)

的最大值为 2 , 求

f (x)

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40. 设二次函数

f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0)

, 方程

f (x) - x = 0

的两个根

x_{1}, x_{2}

满足

0 < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{a}

.
I. 当

x \in (0, x_{1})

时, 证明

x < f (x) < x_{1}

;
II. 设函数

f (x)

的图像关于直线

x = x_{0}

对称, 证明

x_{0} < \frac{x_{1}}{2} 25

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