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数学

一、单选题（共 27 题），每题只有一个选项正确

1. 若集合

A ＝ x | － 2 ＜ x ＜ 1 ， B ＝ x | x ＜ － 1 或 x ＞ 3

，则

A \cap B ＝

A.

x | － 2 ＜ x ＜ － 1

B.

x | － 2 ＜ x ＜ 3

C.

x | － 1 ＜ x ＜ 1

D.

x | 1 ＜ x ＜ 3

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2. 已知集合

A = {x ∣ - 5 < x^{3} < 5}, B = {- 3, - 1, 0, 2, 3}

, 则

A \cap B =

A.

{- 1, 0}

B.

{2, 3}

C.

{- 3, - 1, 0}

D.

{- 1, 0, 2}

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3. 已知集合

M = {x ∣ 0 < \ln (x + 1) < 3}, N = {y ∣ y = \sin x, x \in M}

, 则

M \cap N =

A.

[- 1, 1]

B.

(- 1, 1]

C.

(0, 1]

D.

[0, 1]

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4. 集合

A = {1, 2, 3, 4, 5, 9}, B = {x ∣ \sqrt{x} \in A}

, 则

∁_{A} (A \cap B) =

A.

{1, 4, 9}

B.

{3, 4, 9}

C.

{1, 2, 3}

D.

{2, 3, 5}

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5. 已知集合

A = {x ∣ - 1 < x < 3}, B = {0, a}

, 若

A \cap B

中有且仅有一个元素, 则实数

a

的取值范围为

A.

(- 1, 3)

B.

(- \infty, - 1] \cup [3, + \infty)

C.

(- 3, 1)

D.

(- \infty, - 3] \cup [1, + \infty)

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6. 已知集合

A = {0, 1, 2, 3}, B = {- 1, 0, 1}, C = A \cap B

, 则集合

C

的子集个数为

A.

B.

C.

D.

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7. 已知

α, β

是两个平面,

m, n

是两条直线, 且

α ⊥ β \cdot m \subset α, n \subset β

. 则 “

m ⊥ n

”是"

m ⊥ β

”的

A.

必要不充分条件

B.

充分不必要条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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8. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}, B = {x ∣ y = x^{\frac{1}{4}}}

. 则

A \cap B =

A.

(0, 1]

B.

[0, 4]

C.

(0, 4]

D.

[0, 1]

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9. 已知集合

A = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}, B = {x ∣ x ⟨ 0

或

x ⟩ 1}

, 则图中的阴影部分表示的集合为

A.

{x ∣ x \leq 1

或

x > 2}

B.

{x ∣ x < 0

或

1 < x < 2}

C.

{x ∣ 1 \leq x < 2}

D.

{x ∣ 1 < x < 2}

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10. 已知集合

P = {x ∣ x^{2} \leq 1}

, 集合

M = {a}

, 若

P \cap M = M

, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- \infty, - 1]

B.

[- 1, 1]

C.

[1, + \infty)

D.

(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)

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11. 已知向量

\vec{a} = (- 2, m), \vec{b} = (1, 1 + m)

, 则“

\vec{a} ⊥ \vec{b}

”是“

m = 1

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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12. 设全集为

U

, 定义集合

A

与

B

的运算:

A * B = {x ∣ x \in A \cup B

且

x \notin A \cap B}

, 则

(A * B) * A =

A.

A

B.

B

C.

A \cap (C_{U} B)

D.

B \cap (C_{U} A)

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13. 已知集合

A = {1, 3}, B = {x ∣ (x - a) [x - (a - 2)] ⩽ 0, a \in R}

, 若

A \cup B = B

, 则

A.

a = 1

B.

a = 3

C.

1 < a < 3

D.

1 ⩽ a ⩽ 3

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14. 若全集

U = R

, 集合

A = {x ∣ 0 ⩽ x < 3}, B = {x ∣ 1 < x < 4}

, 则

A \cap C_{U} B =

A.

[0, 1)

B.

[0, 1]

C.

(- \infty, 1)

D.

(- \infty, 1]

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15. 设全集

I = {(x, y) ∣ x, y \in R}

, 集合

M = {(x, y) | \frac{y - 3}{x - 2} = 1}, N = (x, y) ∣ y \neq x + 1

. 那么

\bar{M} \cup \bar{N}

等于

A.

\frac{1}{2}

B.

{(2, 3)}

C.

(2, 3)

D.

{(x, y) ∣ y = x + 1}

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16. 已知

h > 0

. 设命题甲为: 两个实数

a, b

满足

| a - b | < 2 h

; 命题乙为: 两个实数

a, b

满足

∣ a - 1 ∣< h

且

| b - 1 | < h

. 那么

A.

甲是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件

B.

甲是乙的必要条件, 但不是乙的充分条件

C.

甲是乙的充分条件

D.

甲不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件

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17. 设甲、乙、丙是三个命题. 如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件, 那么

A.

丙是甲的充分条件, 但不是甲的必要条件

B.

丙是甲的必要条件, 但不是甲的充分条件

C.

丙是甲的充要条件

D.

丙不是甲的充分条件, 也不是甲的必要条件

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18. 设全集为R,

f (x) = \sin x, g (x) = \cos x, N \neq {x ∣ f (x) \neq 0}, N = {x ∣ g (x) \neq 0}

, 那么集合

{x ∣ f (x) g (x) = 0}

等于

A.

\bar{M} \cap \bar{N}

B.

\bar{M} Y N

C.

M Y \bar{N}

D.

\bar{M} Y \bar{N}

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19. 设集合

M = {x | x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4}, k \in Z}, N = {x | x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2}, k \in Z}

, 则

A.

M = N

B.

M \subset N

C.

M \supset N

D.

M \cap N = Φ

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20. 设有如下三个命题:
甲: 相交直线

1 、 m

都在平面

a

内, 并且都不在平面

β

内;
乙: 直线

1 、 m

中至少有一条与平面

β

相交;
丙: 平面

a

与平面

β

相交.
当甲成立时

A.

乙是丙的充分而不必要条件

B.

乙是丙的必要而不充分条件

C.

乙是丙的充分且必要条件

D.

乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

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21. 设全集

I = {0, 1, 2, 3, 4}

, 集合

A = {0, 1, 2, 3}

, 集合

B = {2, 3, 4}

, 则

\bar{A} \cup \bar{B}

A.

{0}

B.

{0, 1}

C.

{0, 1, 4}

D.

{0, 1, 2, 3, 4}

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22. 设全集

I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

, 集合

A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 5}

. 则

A.

I = A \cup B

B.

I = \bar{A} U B

C.

I = A U \bar{B}

D.

I = \bar{A} U \bar{B}

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23. 设集合

M = {x ∣ 0 ⩽ x < 2}

, 集合

A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}

, 集合

M \cap N =

A.

{x ∣ 0 \leq x < 1}

B.

{x ∣ 0 \leq x < 2}

C.

{x ∣ 0 \leq x \leq 1}

D.

{x ∣ 0 \leq x \leq 2}

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24. 如图, I 是全集, M、P、S 是

I

的 3 个子集, 则阴影部分所表示的集合是

A.

(M \cap P) \cap S

B.

(M \cap P) \cup S

C.

(M \cap P) \cap \bar{S}

D.

(M \cap P) \cup \bar{S}

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25. 已知映射

f : A B

, 其中, 集合

A = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4

}, 集 合 B

中的元素都是 A 中元素在映射

f

下的象，且对任意的

a \in A

，在

B

中和它对应的元素是

{a}

，则集合 B 中元素的个数是

A.

B.

C.

D.

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26. 下列命题是真命题的是

A.

两个四棱锥可以拼成一个四棱柱

B.

正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形

C.

经过不共线的三个点的球有且只有一个

D.

直棱柱的侧面是矩形

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27. 已知全集

U = R

, 集合

A =

{x ∣ x - 2 x^{2} \geq - 15}, B = {x ∣ x \leq - 3

或

x \geq 2}

, 则

A \cap C_{U} B =

A.

- \frac{5}{2}, 2)

B.

- 3, - \frac{5}{2}

C.

(- 3, 3]

D.

(2, 3]

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

28. 已知集合

A = {1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}

, 集合

C

满足

A \subseteq C \subseteq B

, 则

A.

1 \in C, 2 \in C

B.

集合

C

可以为

{1, 2}

C.

集合

C

的个数为 7

D.

集合

C

的个数为 8

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29. 设函数

f (x) = \log_{2} (x^{2} - 3 x)

, 则使

f (x) < 2

成立的充分不必要条件可以是

A.

(- 1, 0)

B.

(- 1, 0) \cup (3, 4) ∣

C.

(3, 4)

D.

(- 1, 4)

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30. 若表示集合

M

和

N

关系的 Venn 图如图所示, 则

M, N

可能是

A.

M = {0, 2, 4, 6}, N = {4}

B.

M = {x ∣ x^{2} < 1}, N = {x ∣ x > - 1}

C.

M = {x ∣ y = \lg x}, N = {y ∣ y = e^{x} + 5}

D.

M = {(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}}, N = {(x, y) ∣ y = x}

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三、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

31. 存在集合

A = {1, 2, \dots, 10}

的一簄子集两两交集非空, 那么这簇子集最多有

个。

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32. 集合

S = {n ∣ 1 \leq n \leq 150, n^{2} - 1

为 120 的倍数

}

, 求

S

的元素个数为

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33. 设集合

A = {x ∣ 1 ⩽ x^{2} ⩽ a^{2} - 6}, B = {x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ a - 1}

, 若

A \subseteq B

, 则实数

a

的取值范围为

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34. 设集合

A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | \frac{5}{4} ⩽ x < 4}

, 则集合

A \cap B

的子集个数为

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35. 已知命题

p : a = 2

, 命题

q :

函数

f (x) = x (x - a)^{2}

有极小值点 2 , 则

p

是

q

的

条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.

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36. 21. (3 分) 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S , 其中由 3 个元素组成的子集数为 T ,则

\frac{T}{S}

的值为

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四、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

37. 已知

m \in R

, 设

p : \forall x \in [- 1, 1], x^{2} - 2 x - m^{2} + 4 m - 2 \geq 0

成立;

q

\exists x \in [1, 2], \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - m x + 1) < - 1

成立, 如果“

p \lor q

”为真, “

p \land q

”为假, 求实数

m

的取值范围.

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38. 已知集合

A = {x ∣ (x - a) (x + a + 1) \leq 0}, B = {x ∣ x \leq 3

或

x \geq 6}

.
（1）当

a = 4

时, 求

A \cap B

;
（2）当

a > 0

时, 若 “

x \in A

”是“

x \in B

”的充分条件, 求实数 a 的取值范围.

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39. 设

a, b, c, d

均为正数, 且

a + b = c + d

, 证明:
(I) 若

a b > c d

, 则

\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}

;
(II)

\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}

是

| a - b | < | c - d |

的充要条件.

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40. 已知二次函数

f (x) = {a x}^{2} + x

, 若对任意

x_{1} 、 x_{2} \in R

, 恒有

2 f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq f (x_{1}) +

f (x_{2})

成立, 不等式

f (x) < 0

的解集为 A .
（1）求集合 A ;
（2）设集合

B = {x | | x + 4 ∣< a}

, 若集合

B

是集合

A

的子集, 求

a

的取值范围.

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