竞赛1-数学组卷-自助组卷

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竞赛1

数学

一、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设集合

A = {2, 3, 4, \dots, 4050}

，集合

B = {(a, b) ∣ \log_{a} b + 8 \log_{b} a = 6, a \in A, b \in A}

，则集合

B

的元素个数为

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P

是棱长为

\sqrt{2}

的正四面体

A B C D

面

B C D

的中心，

M, N

分别是面

A B D, A C D

上的动点，则

P M + M N + N P

的最小值为

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\frac{\cos^{2} 20^{\circ} + \cos^{2} 40^{\circ} + \cos^{2} 80^{\circ}}{\sin^{4} 20^{\circ} + \sin^{4} 40^{\circ} + \sin^{4} 80^{\circ}}

的值为

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4. 设集合

A = {2, 3, 4, \dots, 4050}

, 集合

B = {(a, b) ∣ \log_{a} b + 8 \log_{b} a = 6, a \in A, b \in A}

, 则集合

B

的元素个数为

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P

是棱长为

\sqrt{2}

的正四面体

A B C D

面

B C D

的中心,

M, N

分别是面

A B D, A C D

上的动点,则

P M + M N + N P

的最小值为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

\frac{\cos^{2} 20 + \cos^{2} 40 + \cos^{2} 80}{\sin^{4} 20 + \sin^{4} 40 + \sin^{4} 80}

的值为

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7. 平面上同时和三直线

y = \frac{3}{4} x, y = - \frac{4}{3} (x - 5), y = 0

相切的所有圆的半径的乘积为

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二、解答题（共 23 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 正实数

x, y, z

满足

x + 2 y^{2} + 4 x^{2} y^{2} z^{2} = 8

，则

\log_{4} x + \log_{2} y + \log_{8} z

的最大值为

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9. 平面上同时和三直线

y = \frac{3}{4} x, y = - \frac{4}{3} (x - 5), y = 0

相切的所有圆的半径的乘积为

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10. 设

H

为锐角

△ A B C

的垂心，

⊙ H

与边

B C

切于点

M

且与边

A B, A C

无交点. 已知

B D, C E

分别与

⊙ H

切于点

D, E

(均异于

M

) ,CF,

B G

为

△ A B C

的高. 求证:

D, E, F, G

四点共线.

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11. Consider a random sample of size

n

, and write the data as an

r = r_{n}

c = c_{n}

matrix,

{X_{i j} : i = 1, \dots, r_{n}; j = 1, \dots, c_{n}}

with

n = r_{n} c_{n}

. To spec ify notation,

{X_{i j}}

are i.i.d. with c.d.f.

F (x)

and continuous de nsity

f (x)

. Let

β

denote the median, i.e.,

F (β) = 0.5

. Define an estimator by

{\hat{β}}_{n} = min_{j} {max_{i} {X_{i j}}} .

(a) What is the condition on

r_{n}

when

n \to \infty

for median-un biasedness, i.e.,

β

is also the median for the distribution of

{\hat{β}}_{n}

?
(b) We further assume

F

is differentiable in an open neighbo rhood of

β

and has a positive derivative at

β

. For

r_{n}

in (a), sh ow that

r_{n} ({\hat{β}}_{n} - β)

converges in distribution, and find the li miting distribution function.

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12. 在锐角

△ A B C

中，

K

是

B C

延长线上的一点. 过

K

分别作

A B, A C

的平行线

K P, K Q

，满足

B K = B P, C K = C Q

.设

△ K P Q

的外接圆与

A K

交于点

T

, 求证:
(1)

∠ B T C + ∠ A P B = ∠ C Q A

;
(2)

A P \cdot B T \cdot C Q = A Q \cdot C T \cdot B P

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13. 点

H

为锐角

△ A B C

的垂心,

⊙ H

与边

B C

切于点

M

且与边

A B, A C

无交点,

B D, C E

分别与

⊙ H

切于点

D, E

(均异于

M

C F, B G

为

△ A B C

的高. 证明:

D, E, F, G

四点共线.

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14. 在锐角

△ A B C

中,

∠ A > ∠ B > ∠ C . B_{1}, C_{1}

是平面上的两点, 满足

△ A C_{1} B

和

△ C B_{1} A

分别是以

A B, C A

为底边, 且顺相似的等腰三角形. 设直线

B B_{1}, C C_{1}

交于点

T

. 假设上述各点两两不同, 求证:

∠ A T C \neq 90^{\circ}

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15. 设正整数

n

无平方因子,

S

是集合

{1, 2, \dots, n}

的子集, 满足

| S | \geq \frac{n}{2}

. 求证: 存在

a, b, c \in S

(可以相同), 使得

a b \equiv c (mod n)

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16. 求所有的函数

f : N_{+} \to N_{+}

, 使得对任意正整数

a, b

, 均有

\sum_{k = 0}^{2 b} f (a + k) = (2 b + 1) \cdot f (f (a) + b) .

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17. 如图, 在锐角

△ A B C

中,

Ω

是外接圆,

O

是外心,

Ω

在

B, C

处的切线交于点

M

, 在

A, B

处的切线交于点

N

. 设

A M

交

B C

于点

D, C N

交

A B

于点

F

, 延长

D F

交

Ω

于点

P

. 过

P

作

B O

的平行线交线段

A B, A C

分别于点

Q, R

.若

P Q^{2} = P R \cdot Q R

, 求

∠ A C B

的值.

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18. 已知凸五边形

A B C D E

满足

B D = C D = A C

, 且

B, C, D, E

共圆.若

∠ B A C + ∠ A E D = 180^{\circ}, ∠ D C A = ∠ B D E

, 求证:

A B = D E

或

A B = 2 A E

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19. 给定等腰三角形

A B C

, 其中

A B = A C

. 动点

D

满足

A D ∥ B C, B D > C D

.动点

E

在

△ A B C

外接圆不含

A

的弧

B C

上, 满足

E B < E C

. 射线

B C

上的点

F

满足

∠ A D E = ∠ D F E

. 设射线

F D

交射线

B A

于点

X

, 射线

F D

交射线

C A

于点

Y

. 求证:

∠ X E Y

为定值.

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20. 如图,

I

是

△ A B C

的内心, 线段

A I

交

△ A B C

的内切圆于点

D

, 已知

B D ⊥ A C

. 设点

P

满足

∠ B P A = ∠ P A I = 90^{\circ}, Q

是线段

B D

上一点, 使得

△ A B Q

的外接圆与

B I

相切.

X

是直线

P Q

上一点, 使得

∠ I A X = ∠ X A C

,求证:

∠ A X P = 45^{\circ}

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21. 求所有的整数

n \geq 2

, 使得平面上存在

2 n

个不同点

P_{1}, \dots, P_{n}, Q_{1}, \dots, Q_{n}

,满足:
(1) 这

2 n

个点中任意三个不共线;
(2) 对任意

1 \leq i \leq n, P_{i} P_{i + 1} \geq 1

, 其中

P_{n + 1} = P_{1}

;
(3) 对任意

1 \leq i \leq n, Q_{i} Q_{i + 1} \geq 1

, 其中

Q_{n + 1} = Q_{1}

;
(4) 对任意

1 \leq i, j \leq n, P_{i} Q_{j} \leq 1

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22. 设

P

为平面凸多边形, 若线段

A B

的两端点在

P

的边界上, 并且过

A, B

与

A B

垂直的两条直线之间的区域（含边界）包含

P

，则称线段

A B

为 "锦弦". 求最大的正整数

k

，使得任意平面凸多边形

P

都有

k

条锦弦。（王枫供题）

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23. 在锐角

△ A B C

中,

A B > A C, O

为外心. 设

D

为边

B C

上一点,

O_{1}, O_{2}

分别为

△ A B D

和

△ A C D

的外心,

△ A O_{1} O_{2}

的外接圆与

⊙ O

交于不同于点

A

的点

L

.
证明:

A, O, D

三点共线当且仅当

A L / / B C

. (杨标桂供题)

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24. 一项考试的可能得分为

0, 1, 2, \dots, 150

, 有 100 名考生

P_{1}, P_{2}, \dots, P_{100}

考完后依顺时针围成一圈交流成绩, 记

P_{i}

的得分为

a_{i}

. 每个考生

P_{i}

比较自己与相邻两人

P_{i - 1}, P_{i + 1}

(下标按模 100 理解) 的得分, 定义

P_{i}

的激励值

f_{i}

为:

\begin{aligned} f_{i} = {\begin{cases} a_{i} (a_{i - 1} + a_{i + 1} - a_{i}), & a_{i} < min {a_{i - 1}, a_{i + 1}}, \\ a_{i} (max {a_{i - 1}, a_{i}, a_{i + 1}} - a_{i}), & a_{i} \geq min {a_{i - 1}, a_{i + 1}} . \end{cases} \\ 记 S = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{100} . \end{aligned}

(1) 求

S

的最大值;
(2) 求使得

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{100}

两两不等的

S

的最大值. (何忆捷供题)

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25. 证明: 存在有理数集

Q

的无限子集

A

和

B

, 同时满足以下三个条件:
(i)

A \cup B = Q, A \cap B = \emptyset

;
(ii)

\forall x, y \in A \Rightarrow x y \in B, \forall x, y \in B \Rightarrow x y \in B

;
(iii)

\forall n \in Z, (n, n + 1) \cap A \neq \emptyset, (n, n + 1) \cap B \neq \emptyset

. (杨晓鸣供题)

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26. 求最大的正整数

n

, 使得平面上存在

n

个点

P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}

(任意三点不共线) 和不过其中任意点的

n

条直线

l_{1}, l_{2}, \dots, l_{n}

(任意三线不共点), 满足对任意

i \neq j

,直线

P_{i} P_{j}, l_{i}, l_{j}

三线共点. (王家军供题)

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27. 有红、黄、蓝 3 种不同颜色的帽子各足够多顶. 一个游戏团队有

n (\geq 4)

个人,每人都知晓团队的人数为

n

，帽子的颜色有红、黄、蓝 3 种可能. 他们围成一圈进行如下游戏：
步骤 1：AI 给每个人分配一顶帽子，每人都看不到自己的帽子，只能看到与自己相邻的两人 (即顺时针、逆时针离他最近的人) 的帽子;
步骤 2：所有人同时猜自己的帽子颜色，只要有一个人猜对，就视作游戏团队获胜；若所有人都猜错，则 AI 获胜。
游戏团队可在步骤 1 之前约定猜帽子颜色的策略.
（1）

n = 4

时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论;
（2）

n = 9999

时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论.（郑文迅供题）

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28. 如图, 在

△ A B C

中,

A B > A C, △ A B C

的内切圆

I

分别切边

B C, C A, A B

于点

D, E, F

. 设

M

为

D E

中点,

N

为

D F

中点, 直线

F E

与

B C

相交于点

P

. 过点

P

作动直线

l

交内切圆

I

于不同的两点

G, H

, 且

I, M, G

和

I, N, H

均不共线,

△ I M G

的外接圆与

△ I N H

的外接圆交于不同于

I

的一点

Q

. 证明: 点

Q

始终在一个定圆上. (张惠东供题）

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29. 设

m, n

为正整数且

m \leq n

, 证明:

| \sum_{k = m}^{n} (\cos \frac{k^{2} π}{2 n} + i \sin \frac{k^{2} π}{2 n}) | \leq \frac{n}{m} 。(王枫供题)

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30. 用

f (n)

表示正整数

n

的二进制表示中数码 " 1 " 占所有数码的比例, 例如

21 = (10101)_{2}

, 则

f (21) = \frac{3}{5}

.
（1）是否存在由 21 个不超过 2024 的正整数构成的非常值等差数列

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{21}

, 使得

f (a_{1}) = f (a_{2}) = \dots = f (a_{21})

? 证明你的结论;
（2）是否存在无穷多个正整数

m

，使得

f (m^{2}) > \frac{7}{10}

？证明你的结论.（何忆捷供题）

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他的试卷

代数试卷1

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