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代数

数学

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1.

A = (\begin{array}{lll} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

, 则

(A - 4 E)^{- 1} =

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2. 设

A = (\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125 \end{array}), β = (\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array})

, 则

A^{'} X = β

的解是

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3. 设

n > 2, n

阶矩阵

(\begin{array}{ccccc} a & a & \dots & a & b \\ a & a & \dots & b & a \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a & b & \dots & a & a \\ b & a & \dots & a & a \end{array})

的秩是

n - 1

, 其中

a b \neq 0

,则

a, b

满足条件

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4. 设

A

是 6 阶方阵,

r (A) = 4

, 那么

r (A^{*}) =

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5. 当

x, y

满足

时, 矩阵

(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & y \end{array})

是正定的.

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二、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 问

a, b

为何值时, 线性方程组

{\begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = 0, \\ x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} & = 1, \\ - x_{2} + (a - 3) x_{3} - 2 x_{4} & = b, \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + a x_{4} & = - 1 . \end{aligned}

有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有解时, 求线性方程组的解(用向量表示)

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7. 用非退化的线性替换化二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

为标准形, 并判断其是否正定。

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8. 设

A \in M_{m \times n}, B \in M_{n \times s}

. 设

ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{t}

是

B X = 0

的一个基础解系, 且

r (B) - r (A B) = r

。
1. 证明存在

r

个

s

维向量

η_{1}, \dots, η_{r}

使得

ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{t}, η_{1}, \dots, η_{r}

是

A B X = 0

的一个基础解系;
2. 证明向量组

B η_{1}, B η_{2}, \dots, B η_{r}

线性无关;
3. 根据 1 .和 2 .的结论或用其它方法证明:

r (A B) \geq r (A) + r (B) - n .

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9. 设

A \in M_{n} (P), α, β \in P^{n}

, 试证:
1.

| E_{n} - α β^{'} | = 1 - α^{'} β

;
2. 因此当

1 - α^{'} β \neq 0

时,

E_{n} - α β^{'}

是可逆的, 求

E_{n} - α β^{'}

的逆。

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他的试卷

试卷1

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