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试卷1

数学

一、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

{x_{k}}_{k \in N}

是

[0, 1]

中所有有理数组成的序列, 定义

D = [0, 1] \times [0, 1]

上的函数

f (x, y)

如下:
问：

f (x, y)

是否在

D

上可积? 如可积, 求其积分值。

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2. 计算

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} d y

.

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3. 讨论

\iint_{R^{2}} \frac{d x d y}{{(x^{2} + y^{2})}^{α}}

的敛散性。

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4. 计算

\iint_{y \geq x^{2} + 1} \frac{d x d y}{x^{4} + y^{2}}

.

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5. 计算第二型曲线积分

\int_{Γ} x d x + y d y + z d z

, 其中

Γ

为球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

与平面

x + y + z = 0

的交线, 从

z

轴看取逆时针方向。

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6. 计算第二型曲线积分

\iint_{S} x d y d z + y d z d x + z d x d y

, 其中

S

为三个坐标平面与平面

x + y + z = 1

所围成的四面体的外侧。

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7. 计算

\oint_{Γ} \frac{x d y - y d x}{x^{2} + y^{2}}

, 其中

Γ \subset R^{2}

为光滑约当曲线,

(0, 0) \notin Γ

.

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8. 计算

\iint_{S} \frac{\cos (r, n)}{r^{2}} d S

, 其中

S \subset R^{3}

为封闭光滑曲面, 取外侧。其中

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in R^{3} ∖ S, r = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}), r = | r |, n

是

S

的单位外法向量。

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9. 计算

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (a^{2} \sin^{2} x + b^{2} \cos^{2} x) d x

, 其中

a b \neq 0

.

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10. 计算

\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 - a^{2} x^{2})}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x

, 其中

| a | \leq 1

.

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