一、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\left\{x_k\right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 是 $[0,1]$ 中所有有理数组成的序列, 定义 $D=[0,1] \times[0,1]$ 上的函数 $f(x, y)$ 如下:
问： $f(x, y)$ 是否在 $D$ 上可积? 如可积, 求其积分值。
计算 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$.
讨论 $\iint_{\mathbb{R}^2} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2\right)^\alpha}$ 的敛散性。
计算 $\iint_{y \geq x^2+1} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{x^4+y^2}$.
计算第二型曲线积分 $\int_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$, 其中 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$与平面 $x+y+z=0$ 的交线, 从 $z$ 轴看取逆时针方向。
计算第二型曲线积分 $\iint_S x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $S$ 为三个坐标平面与平面 $x+y+z=1$ 所围成的四面体的外侧。
计算 $\oint_{\Gamma} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}$, 其中 $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$ 为光滑约当曲线, $(0,0) \notin \Gamma$.
计算 $\iint_S \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{r^2} \mathrm{~d} S$, 其中 $S \subset \mathbb{R}^3$ 为封闭光滑曲面, 取外侧。其中 $\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \mathbb{R}^3 \backslash S, \mathbf{r}=\left(x-x_0, y-y_0, z-z_0\right), r=|\mathbf{r}|, \mathbf{n}$ 是 $S$ 的单位外法向量。
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x\right) \mathrm{d} x$, 其中 $a b \neq 0$.
计算 $\int_0^1 \frac{\ln \left(1-a^2 x^2\right)}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$, 其中 $|a| \leq 1$.