单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有 6 座塔, 它们的位置分别为 $A, B, C, D, E, F$.同学们自由行动一段时间后, 每位同学都发现, 自己在所在的位置只能看到位于 $A, B, C, D$处的四座塔, 而看不到位于 $E$ 和 $F$ 的塔. 已知
(1) 同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点, 且这些点彼此不重合;
(2) $A, B, C, D, E, F$ 中任意3点不共线;
(3) 看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡, 例如, 如果某位同学所在的位置 $P$和 $A, B$ 共线, 且 $A$ 在线段 $P B$ 上, 那么该同学就看不到位于 $B$ 处的塔.
请问, 这个旅游小组最多可能有多少名同学?
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 12
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设复数 $z$ 满足 $\frac{4 z-2}{2 \bar{z}-1}+|z|^2=0$ ，则 $|z+1|$ 的值为
设复数 $z$ 满足 $\frac{4 z-2}{2 \bar{z}-1}+|z|^2=0$, 则 $|z+1|$ 的值为
已知正整数 $n$ 的所有正因数排列为： $1=d_1 < d_2 < d_3 < \cdots$, 则在 $1,2,3, \cdots, 2024$ 中使得 $d_{10}=88$的所有数之和为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对于 $\mathbb{R}^3$ 中的任何中心对称的凸多面体 $V$,证明可以找到一个椭球面 $E$, 把凸多面体包在内部,且 $E$ 的表面积不超过 $V$ 的表面积的 3 倍.
求满足下述条件的最小实数 $\lambda$ : 任意正整数 $n$ 都可以写成 2023 个正整数的乘积 $n=x_1 x_2 \cdots x_{2023}$ ，使得对于每个 $i \in\{1,2, \cdots, 2023\}$ ，要么 $x_i$ 是素数，要么 $x_i \leq n^\lambda$.
已知凸多面体 $P$ 的每个顶点恰属于三个不同的面, 且可以将 $P$ 的每个顶点染为黑白两种颜色之一, 使得 $P$ 的每条棱的两个端点不同色. 求证: 可以将 $P$ 的每条棱的内部染为红黄蓝三种颜色之一, 使得每个顶点连的三条棱的颜色两两不同,且每个面恰含两种颜色的棱.
设正整数 $M$ 恰有 $L$ 个不同的质因子。对正整数 $n$, 设 $h(n)$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$中与 $M$ 互质的数的个数. 记 $\beta=\frac{h(M)}{M}$. 求证：集合 $\{1,2, \cdots, M\}$ 中存在不少于 $\frac{M}{3}$ 个数 $n$, 满足
$$
\beta n-\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}-1 \leq h(n) \leq \beta n+\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}+1 .
$$
将每个正整数染为 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 四种颜色之一.
(1) 求证: 存在正整数 $n$ 以及 $i, j \in\{1,2,3,4\}$, 使得 $n$ 的全体正约数中 $c_i$ 颜色的数比 $c_j$ 颜色的数至少多 3 个;
(2) 求证: 对任意正整数 $A$, 存在正整数 $n$ 以及 $i, j \in\{1,2,3,4\}$, 使得 $n$ 的全体正约数中 $c_i$ 颜色的数比 $c_j$ 颜色的数至少多 $A$ 个.
在 $n \times n$ 的方格表中, 若两个方格有公共边, 则称它们是相邻的. 若 $l$ 个互异方格 $A_1, A_2, \cdots, A_l$ 满足 $A_i$ 和 $A_{i+1}$ 相邻 $(1 \leq i \leq l-1)$, 则称它们为一条长度为 $l$ 的 "龙". 求最大的正整数 $k$, 使得可以给每个方格填上 0 或者 1 , 并且对任意一个方格 $A$, 和以 $A$ 中数字为首项的 0,1 序列 $m_1, m_2, \cdots, m_k$, 都存在从 $A$ 开始的长度为 $k$的龙, 方格中数字依次是 $m_1, m_2, \cdots, m_k$. (欧阳泽轩供题)
求方程
$$
\frac{\sqrt{3}+2 \sin 2 x}{\sqrt{3}+2 \sin x}=\sqrt{3} \sin x+\frac{\cos 2 x}{2 \cos x}
$$
在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的解. (李胜宏供题)
设 $a, b, c, d \in(0,1)$, 满足 $a^2+b^2+c^2+d^2=3$. 证明:
$$
\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+d}+\frac{1-c^2}{d+a}+\frac{1-d^2}{a+b} < \frac{2}{3} \text {. (李胜宏供题) }
$$