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gzsx3

数学

一、单选题（共 24 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = a (x + 1)^{2} - 1, g (x) = \cos x + 2 a x

(

a

为常数), 当

x \in (- 1, 1)

时, 曲线

y = f (x)

与

y = g (x)

恰有一个交点, 则

a =

A.

-1

B.

\frac{1}{2}

C.

1

D.

2

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2. 已知实数

x, y

满足

e^{x} = y \ln x + y \ln y

, 则满足条件的

y

的最小正整数为

A.

1

B.

3

C.

5

D.

7

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3. 设函数

f (x) = \frac{e^{x} + 2 \sin x}{1 + x^{2}}

, 则曲线

y = f (x)

在点

(0, 1)

处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

A.

\frac{1}{6}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{2}{3}

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4. 已知定义在 R 上的函数

f (x)

满足

2 f (x) = f (- x) + 3 e^{x}

, 则曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处的切线方程为

A.

y = 3 x + 3

B.

y = 3 x - 3

C.

y = x + 3

D.

y = x - 3

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5.

{(1 \frac{1}{2})}^{0} - (1 - {0.5}^{- 2}) \div \sqrt[3]{{(\frac{27}{8})}^{2}}

的值为

A.

- \frac{1}{3}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{4}{3}

D.

\frac{7}{3}

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6. 如图是指数函数(1)

y = a^{x}

，(2)

y = b^{x}

，(3)

y = c^{x} ，

(4)

y = d^{x}

的图像，则

a ， b ， c ， d

与 0 和1的大小关系是

A.

0 < a < b < 1 < c < d

B.

0 < b < a < 1 < d < c

C.

1 < a < b < c < d

D.

0 < a < b < 1 < d < c

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7. 已知

a = \log_{5} 2 ， b = \log_{0.5} 0.2 ， c = {0.5}^{0.2}

，则

a, b, c

的大小关系为

A.

a < c < b

B.

a < b < c

C.

b < c < a

D.

c < a < b

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8. 设

2^{a} = 5^{b} = m

，且

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1

，则

m =

A.

\sqrt{10}

B.

10

C.

20

D.

100

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9. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} e^{x}, x \leq 0 ， \\ \ln x, x > 0 ， \end{cases}, g (x) = f (x) + x + a

. 若

g (x)

存在 2 个零点，则

a

的取值范围是

A.

[- 1, 0)

B.

[0, + \infty)

C.

[- 1, + \infty)

D.

[1, + \infty)

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10. 若曲线

y = \ln (x + 2 a)

的一条切线为

y = e x - 2 b

( e 为自然对数的底数), 其中

a, b

为正实数, 则

\frac{1}{e a} + \frac{1}{b}

的取值范围是

A.

[2, e)

B.

(e, 4]

C.

[4, + \infty)

D.

[e, + \infty)

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11. 函数

y = \frac{| \sin x |}{\sin x} + \frac{\cos x}{| \cos x |} + \frac{| \tan x |}{\tan x} + \frac{\cot x}{| \cot x |}

的值域是

A.

{- 2, 4}

B.

{- 2, 0, 4}

C.

{- 2, 0, 2, 4}

D.

{- 4, - 2, 0, 4}

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12. 已知

\sin a = \frac{4}{5}

, 并且

a

是第二象限的角, 那么

tg a

的值等于

A.

- \frac{4}{3}

B.

- \frac{3}{4}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{4}{3}

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13. 函数

y = \cos^{4} x - \sin^{4} x

的最小正周期是

A.

\frac{π}{2}

B.

π

C.

2 π

D.

4 π

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14. 图中曲线是幂函数

y = x^{n}

在第一象限的图象. 已知

n

取

\pm 2, \pm \frac{1}{2}

四个值, 则相应于曲线

c 1 、 c 2 、 c 3 、 c 4

的

n

依次为

A.

- 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2

B.

- 2, 2, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}

C.

2, - 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}

D.

\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2

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15. 若

\log_{a} 2 < logb 2 < 0

, 则

A.

0 < a < b < 1

B.

0 < b < a < 1

C.

a > b > 1

D.

b > a > 1

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16.

lim_{n \to \infty} \frac{5 n^{2} - 1}{2 n^{2} - n + 5}

的值为

A.

- \frac{1}{5}

B.

- \frac{5}{2}

C.

\frac{1}{5}

D.

\frac{5}{2}

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17. 设

θ

是第二象限的角, 则必有

A.

tg \frac{θ}{2} > ctg \frac{θ}{2}

B.

tg \frac{θ}{2} < ctg \frac{θ}{2}

C.

\sin \frac{θ}{2} > \cos \frac{θ}{2}

D.

\sin \frac{θ}{2} < \cos \frac{θ}{2}

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18. 当

a > 1

时, 在同一坐标系中, 函数

y = a^{- x}

与

y = \log_{a} x

的图像

A.

B.

C.

D.

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19. 若

\sin^{2} x > \cos^{2} x

, 则

x

的取值范围是

A.

{x | 2 k π - \frac{3}{4} π < x < 2 k π + \frac{1}{4} π, k \in Z}

B.

{x | 2 k π + \frac{1}{4} π < x < 2 k π + \frac{5}{4} π, k \in Z}

C.

{x | k π - \frac{1}{4} π < x < k π + \frac{1}{4} π, k \in Z}

D.

{x | k π + \frac{1}{4} π < x < k π + \frac{3}{4} π, k \in Z}

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20. 已知

α

是第三象限角且

\sin α = - \frac{24}{25}

, 则

\tan \frac{α}{2} =

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{3}{4}

C.

- \frac{3}{4}

D.

- \frac{4}{3}

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21. 将

y = 2^{x}

的图像 () 再作关于直线

y = x

对称的图像, 可得到函数

y = \log_{2} (x + 1)

的图像.

A.

先向左平行移动 1 个单位

B.

先向右平行移动 1 个单位

C.

先向上平行移动 1 个单位

D.

先向下平行移动 1 个单位

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22.

\sin 600^{\circ}

的值是

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

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23. 函数

y = a^{| x |} (a > 1)

的图象是

A.

B.

C.

D.

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24. 已知点

P (\sin α - \cos α, tg α)

在第一象限, 则在

(0, 2 π)

内

α

的取值范围是

A.

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}) \cup (π, \frac{5 π}{4})

B.

(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) \cup (π, \frac{5 π}{4})

C.

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{5 π}{4}, \frac{3 π}{2})

D.

(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{3 π}{4}, π)

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

25. 设函数

f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1

, 则

A.

当

a > 1

时,

f (x)

有三个零点

B.

当

a < 0

时,

x = 0

是

f (x)

的极大值点

C.

存在

a, b

, 使得

x = b

为曲线

y = f (x)

的对称轴

D.

存在

a

, 使得点

(1, f (1))

为曲线

y = f (x)

的对称中心

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26. 已知函数

f (x) = min {\sin x, \cos x}

, 则

A.

f (x)

关于直线

x = - \frac{π}{4}

对称

B.

f (x)

的最大值为

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

f (x)

在

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

上不单调

D.

在

(0, 2 π)

, 方程

f (x) = m

(

m

为常数) 最多有 4 个解

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三、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

27. 若曲线

y = e^{x} + x

在点

(0, 1)

处的切线也是曲线

y = \ln (x + 1) + a

的切线, 则

a =

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28. 已知函数

f (x) = 2 a e^{2 x} - x^{2}

有三个零点, 求

a

的取值范围

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29. 已知函数

f (x) = \sin x - x + {a x}^{2}, a \in R

.
（1）若曲线

y = f (x)

在

x = π

处的切线过原点, 求

a

的值;
（2）当

x \leq 5

时,

f (x) \geq 0

, 求

a

的取值范围.

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30. 已知

a > 1, \frac{1}{\log_{8} a} - \frac{1}{\log_{a} 4} = - \frac{5}{2}

, 则

a =

.

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31. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x + 1, x \leq 0, \\ \log_{2} x, x > 0 \end{cases}

则函数

y = f [f (x)]

的所有零点之和为

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32.

arctg \frac{1}{3} + arctg \frac{1}{2}

的值是

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四、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

33. 已知函数

f (x) = \ln \frac{x}{2 - x} + a x + b (x - 1)^{3}

(1) 若

b = 0

, 且

f^{'} (x) \geq 0

, 求

a

的最小值:
(2) 证明: 曲线

f (x)

为中心对称函数;
(3) 若

f (x) > - 2

, 当且仅当

1 < x < 2

, 求

b

的取值范围。

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34. 已知函数

f (x) = e^{x} - a x - a^{3}

.
(1) 当

a = 1

时, 求曲线

y = f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线方程.
(2) 若

f (x)

有极小值, 且极小值小于 0 , 求

a

的取值范围.

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35. 已知函数

f (x) = (1 - a x) \ln (1 + x) - x

.
（1）当

a = - 2

时, 求

f (x)

的极值；
（2）当

x \geq 0

时,

f (x) \geq 0

, 求

a

的取值范围.

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36. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln x, g (x) = e^{x - 1} - \frac{1}{2} x^{2} - a x (a > 0)

.
(1) 求

f (x)

的单调区间;
(2) 设函数

F (x) = f (x) + g (x)

. 证明:
(i) 函数

F (x)

有唯一极值点;
(ii) 若函数

F (x)

有唯一零点

x_{0}

, 则

1 < x_{0} < 2

.

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37. 已知定义在

(- 1, 1)

上的奇函数

f (x)

. 在

x \in (- 1, 0)

时，

f (x) = 2^{x} + 2^{- x}

.
(1)试求

f (x)

的表达式；
(2) 若对于

x \in (0, 1)

上的每一个值，不等式

t \cdot 2^{x} \cdot f (x) < 4^{x} - 1

恒成立，求实数

t

的取值范围.

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38. 已知函数

f (x) = \lg (x + 2) - \lg (2 - x)

.
(1)求

f (x)

的定义域；
(2)判断

f (x)

的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式

f (x) > 1

的解集.

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39. 已知函数

f (x) = x - \frac{1}{a} \ln x

与函数

g (x) = e^{a x} - x

, 其中

a > 0

(1) 求

f (x)

的单调区间;
(2)若

g (x) > 0

, 求

a

的取值范围;
(3) 若曲线

y = f (x)

与

x

轴有两个不同的交点, 求证: 曲线

y = f (x)

与曲线

y = g (x)

共有三个不同的交点.

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40. 已知函数

f (x) = \ln x - a x, g (x) =

\frac{2}{a x}, a \neq 0

.
(1) 求函数

f (x)

的单调区间;
(2) 若

f (x) \leq g (x)

恒成立, 求

a

的最小值.

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